今回の問題は「平方根と不等式」です。
\(~\)数研出版 これからの数学３ ー
\(~\)東京書籍 新しい数学３ p.67 3(1)
\(~\)啓林館 未来へひろがる数学３ p.43 5 / p.64 2
問題
\(\begin{split}{\small (1)}~2\lt\sqrt{a}≦3\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~1.7\lt\sqrt{a}\lt2.2\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~\sqrt{5}≦a\lt\sqrt{20}\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (4)}~\sqrt{50}\lt a \lt\sqrt{80}\end{split}\)
\(a\) が自然数のとき、次の式にあてはまる \(a\) の値をすべて求めよ。
\(\begin{split}{\small (1)}~2\lt\sqrt{a}≦3\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~1.7\lt\sqrt{a}\lt2.2\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~\sqrt{5}≦a\lt\sqrt{20}\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (4)}~\sqrt{50}\lt a \lt\sqrt{80}\end{split}\)
Point：平方根と不等式
① それぞれの辺を２乗した不等式をつくる。
\(\left(\sqrt{a}\right)^2=a\) より、 \(1≦a\lt 4\)
② この不等式を満たす自然数 \(a\) を見つける。
※ 数直線上に不等式を表すとわかりやすい。
これより、\(a=1~,~2~,~3\)
■ \(\sqrt{3}\lt a≦\sqrt{10}\) の場合 ( \(a\) は自然数 )
① それぞれの辺を２乗した不等式をつくる。
\(3\lt a^2≦ 10\)
② この不等式を満たす自然数 \(a\) を見つける。
\(a\) と \(a^2\) の関係を書き並べると、
\(\begin{split}&a=1~,~2~,~3~,~4~,~5~,~6~,~\cdots\\[2pt]~~~~~&a^2=1~,~4~,~9~,~16~,~25~,~36~,~\cdots\end{split}\)
不等式を満たす \(a^2\) は \(a^2=4~,~9\)
よって、\(a\) の値は \(a=2~,~3\)
■ \(1≦\sqrt{a}\lt 2\) の場合 ( \(a\) は自然数 )
① それぞれの辺を２乗した不等式をつくる。
\(\left(\sqrt{a}\right)^2=a\) より、 \(1≦a\lt 4\)
② この不等式を満たす自然数 \(a\) を見つける。
※ 数直線上に不等式を表すとわかりやすい。
これより、\(a=1~,~2~,~3\)
■ \(\sqrt{3}\lt a≦\sqrt{10}\) の場合 ( \(a\) は自然数 )
① それぞれの辺を２乗した不等式をつくる。
\(3\lt a^2≦ 10\)
② この不等式を満たす自然数 \(a\) を見つける。
\(a\) と \(a^2\) の関係を書き並べると、
\(\begin{split}&a=1~,~2~,~3~,~4~,~5~,~6~,~\cdots\\[2pt]~~~~~&a^2=1~,~4~,~9~,~16~,~25~,~36~,~\cdots\end{split}\)
不等式を満たす \(a^2\) は \(a^2=4~,~9\)
よって、\(a\) の値は \(a=2~,~3\)
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