分数・小数の平方根の式変形の解法
Point：分数・小数の平方根の式変形
① ルートを分母と分子に分ける。
\(\begin{split}~~~~~~\sqrt{\frac{\,8\,}{\,25\,}}=\frac{\,\sqrt{8}\,}{\,\sqrt{25}\,}\end{split}\)
② 分母分子のルートの中をそれぞれ簡単にする。
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,\sqrt{2^2\times2}\,}{\,\sqrt{5^2}\,}=\frac{\,2\sqrt{2}\,}{\,5\,}\end{split}\)
■ 小数の平方根の式変形
① 小数を分数で表す。
※ このとき分母は、ルートが外れるように
\(100=10^2\) や \(10000=100^2\) で表す。
\(\begin{split}~~~~~~\sqrt{0.11}=\sqrt{\frac{\,11\,}{\,100\,}}\end{split}\)
② ルートを分母と分子に分けて、分母分子のルートの中をそれぞれ簡単にする。
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,\sqrt{11}\,}{\,\sqrt{100}\,}=\frac{\,\sqrt{11}\,}{\,\sqrt{10^2}\,}=\frac{\,\sqrt{11}\,}{\,10\,}\end{split}\)
■ 分数の平方根の式変形
① ルートを分母と分子に分ける。
\(\begin{split}~~~~~~\sqrt{\frac{\,8\,}{\,25\,}}=\frac{\,\sqrt{8}\,}{\,\sqrt{25}\,}\end{split}\)
② 分母分子のルートの中をそれぞれ簡単にする。
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,\sqrt{2^2\times2}\,}{\,\sqrt{5^2}\,}=\frac{\,2\sqrt{2}\,}{\,5\,}\end{split}\)
■ 小数の平方根の式変形
① 小数を分数で表す。
※ このとき分母は、ルートが外れるように
\(100=10^2\) や \(10000=100^2\) で表す。
\(\begin{split}~~~~~~\sqrt{0.11}=\sqrt{\frac{\,11\,}{\,100\,}}\end{split}\)
② ルートを分母と分子に分けて、分母分子のルートの中をそれぞれ簡単にする。
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,\sqrt{11}\,}{\,\sqrt{100}\,}=\frac{\,\sqrt{11}\,}{\,\sqrt{10^2}\,}=\frac{\,\sqrt{11}\,}{\,10\,}\end{split}\)
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問題解説：分数・小数の平方根の式変形
問題解説(1)
問題
\(\begin{split}{\small (1)}~\sqrt{\frac{\,11\,}{\,4\,}}\end{split}\)
次の数を式変形して、根号の中をできるだけ簡単にせよ。
\(\begin{split}{\small (1)}~\sqrt{\frac{\,11\,}{\,4\,}}\end{split}\)
ルートを分母と分子に分けると、
\(\begin{split}&\sqrt{\frac{\,11\,}{\,4\,}}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{11}\,}{\,\sqrt{4}\,}\end{split}\)
\(4=2^2\) より、ルートの中を簡単にすると、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,\sqrt{11}\,}{\,\sqrt{2^2}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{11}\,}{\,2\,}\end{split}\)
したがって、答えは \(\begin{split}{\frac{\,\sqrt{11}\,}{\,2\,}}\end{split}\) となる
問題解説(2)
問題
\(\begin{split}{\small (2)}~\sqrt{\frac{\,7\,}{\,36\,}}\end{split}\)
次の数を式変形して、根号の中をできるだけ簡単にせよ。
\(\begin{split}{\small (2)}~\sqrt{\frac{\,7\,}{\,36\,}}\end{split}\)
ルートを分母と分子に分けると、
\(\begin{split}&\sqrt{\frac{\,7\,}{\,36\,}}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{7}\,}{\,\sqrt{36}\,}\end{split}\)
\(36=6^2\) より、ルートの中を簡単にすると、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,\sqrt{7}\,}{\,\sqrt{6^2}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{7}\,}{\,6\,}\end{split}\)
したがって、答えは \(\begin{split}{\frac{\,\sqrt{7}\,}{\,6\,}}\end{split}\) となる
問題解説(3)
問題
\(\begin{split}{\small (3)}~\sqrt{\frac{\,45\,}{\,16\,}}\end{split}\)
次の数を式変形して、根号の中をできるだけ簡単にせよ。
\(\begin{split}{\small (3)}~\sqrt{\frac{\,45\,}{\,16\,}}\end{split}\)
ルートを分母と分子に分けると、
\(\begin{split}&\sqrt{\frac{\,45\,}{\,16\,}}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{45}\,}{\,\sqrt{16}\,}\end{split}\)
\(45=3^2\times5~,~16=4^2\) より、ルートの中を簡単にすると、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,\sqrt{3^2\times5}\,}{\,\sqrt{4^2}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{3^2}\times\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{4^2}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,3\sqrt{5}\,}{\,4\,}\end{split}\)
したがって、答えは \(\begin{split}{\frac{\,3\sqrt{5}\,}{\,4\,}}\end{split}\) となる
問題解説(4)
問題
\(\begin{split}{\small (4)}~\sqrt{\frac{\,63\,}{\,25\,}}\end{split}\)
次の数を式変形して、根号の中をできるだけ簡単にせよ。
\(\begin{split}{\small (4)}~\sqrt{\frac{\,63\,}{\,25\,}}\end{split}\)
ルートを分母と分子に分けると、
\(\begin{split}&\sqrt{\frac{\,63\,}{\,25\,}}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{63}\,}{\,\sqrt{25}\,}\end{split}\)
\(63=3^2\times7~,~25=5^2\) より、ルートの中を簡単にすると、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,\sqrt{3^2\times7}\,}{\,\sqrt{5^2}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{3^2}\times\sqrt{7}\,}{\,\sqrt{5^2}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,3\sqrt{7}\,}{\,5\,}\end{split}\)
したがって、答えは \(\begin{split}{\frac{\,3\sqrt{7}\,}{\,5\,}}\end{split}\) となる
問題解説(5)
問題
\(\begin{split}{\small (5)}~\sqrt{0.05}\end{split}\)
次の数を式変形して、根号の中をできるだけ簡単にせよ。
\(\begin{split}{\small (5)}~\sqrt{0.05}\end{split}\)
小数を分数で表すと、
※ \(\begin{split}0.05={\frac{\,1\,}{\,20\,}}\end{split}\) とはせずに、ルートが外れるように \(100=10^2\) を使って表す。
\(\begin{split}&\sqrt{0.05}\\[3pt]~~=~&\sqrt{\frac{\,5\,}{\,100\,}}\end{split}\)
ルートを分母と分子に分けると、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{100}\,}\end{split}\)
\(100=10^2\) より、ルートの中を簡単にすると、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{10^2}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{5}\,}{\,10\,}\end{split}\)
したがって、答えは \(\begin{split}{\frac{\,\sqrt{5}\,}{\,10\,}}\end{split}\) となる
問題解説(6)
問題
\(\begin{split}{\small (6)}~\sqrt{0.0023}\end{split}\)
次の数を式変形して、根号の中をできるだけ簡単にせよ。
\(\begin{split}{\small (6)}~\sqrt{0.0023}\end{split}\)
小数を分数で表すと、
\(\begin{split}&\sqrt{0.0023}\\[3pt]~~=~&\sqrt{\frac{\,23\,}{\,10000\,}}\end{split}\)
ルートを分母と分子に分けると、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,\sqrt{23}\,}{\,\sqrt{10000}\,}\end{split}\)
\(10000=100^2\) より、ルートの中を簡単にすると、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,\sqrt{23}\,}{\,\sqrt{100^2}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{23}\,}{\,100\,}\end{split}\)
したがって、答えは \(\begin{split}{\frac{\,\sqrt{23}\,}{\,100\,}}\end{split}\) となる
【問題一覧】中３｜平方根
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