分母の有理化の解法
Point：分母の有理化
① 分母の平方根の中を簡単にする。
\(\begin{split}~~~~~\frac{\,1\,}{\,\sqrt{27}\,}=\frac{\,1\,}{\,3\sqrt{3}\,}\end{split}\)
② 分母の平方根と同じ数を、分母分子にそれぞれ掛け算する。
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,1\,}{\,3\sqrt{3}\,}\times\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{3}\,}\end{split}\)
③ 分母分子をそれぞれ計算する。
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,1\times\sqrt{3}\,}{\,3\sqrt{3}\times\sqrt{3}\,}=\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,9\,}\end{split}\)
このとき、約分できるかどうかに注意する。
※ 基本的に平方根の計算結果は、分母に平方根をふくまない形で答える。
分母に平方根をふくむ式を平方根をふくまない式に計算することを「分母の有理化」という。
① 分母の平方根の中を簡単にする。
\(\begin{split}~~~~~\frac{\,1\,}{\,\sqrt{27}\,}=\frac{\,1\,}{\,3\sqrt{3}\,}\end{split}\)
② 分母の平方根と同じ数を、分母分子にそれぞれ掛け算する。
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,1\,}{\,3\sqrt{3}\,}\times\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{3}\,}\end{split}\)
③ 分母分子をそれぞれ計算する。
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,1\times\sqrt{3}\,}{\,3\sqrt{3}\times\sqrt{3}\,}=\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,9\,}\end{split}\)
このとき、約分できるかどうかに注意する。
※ 基本的に平方根の計算結果は、分母に平方根をふくまない形で答える。
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問題解説：分母の有理化
問題解説(1)
問題
\(\begin{split}{\small (1)}~\frac{\,2\,}{\,\sqrt{3}\,}\end{split}\)
次の数の分母の有理化をせよ。
\(\begin{split}{\small (1)}~\frac{\,2\,}{\,\sqrt{3}\,}\end{split}\)
分母分子に \(\sqrt{3}\) を掛け算すると、
\(\begin{split}&\frac{\,2\,}{\,\sqrt{3}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,2\,}{\,\sqrt{3}\,}\times\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{3}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,2\times\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{3}\times\sqrt{3}\,}\end{split}\)
\(\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3\) より、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,2\sqrt{3}\,}{\,3\,}\end{split}\)
したがって、答えは \(\begin{split}{\frac{\,2\sqrt{3}\,}{\,3\,}}\end{split}\) となる
問題解説(2)
問題
\(\begin{split}{\small (2)}~\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{7}\,}\end{split}\)
次の数の分母の有理化をせよ。
\(\begin{split}{\small (2)}~\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{7}\,}\end{split}\)
分母分子に \(\sqrt{7}\) を掛け算すると、
\(\begin{split}&\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{7}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{7}\,}\times\frac{\,\sqrt{7}\,}{\,\sqrt{7}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{3}\times\sqrt{7}\,}{\,\sqrt{7}\times\sqrt{7}\,}\end{split}\)
\(\sqrt{7}\times\sqrt{7}=7\) より、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,\sqrt{21}\,}{\,7\,}\end{split}\)
したがって、答えは \(\begin{split}{\frac{\,\sqrt{21}\,}{\,7\,}}\end{split}\) となる
問題解説(3)
問題
\(\begin{split}{\small (3)}~\frac{\,3\,}{\,2\sqrt{3}\,}\end{split}\)
次の数の分母の有理化をせよ。
\(\begin{split}{\small (3)}~\frac{\,3\,}{\,2\sqrt{3}\,}\end{split}\)
分母分子に \(\sqrt{3}\) を掛け算すると、
\(\begin{split}&\frac{\,3\,}{\,2\sqrt{3}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,3\,}{\,2\sqrt{3}\,}\times\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{3}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,3\times\sqrt{3}\,}{\,2\sqrt{3}\times\sqrt{3}\,}\end{split}\)
\(\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3\) より、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,3\sqrt{3}\,}{\,2\times3\,}\end{split}\)
\(3\) を約分すると、
\(\require{cancel} \begin{split}~~=~&\frac{\,\cancel{3}^{1}\times\sqrt{3}\,}{\,2\times\cancel{3}^{1}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\end{split}\)
したがって、答えは \(\begin{split}{\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}}\end{split}\) となる
問題解説(4)
問題
\(\begin{split}{\small (4)}~\frac{\,2\,}{\,\sqrt{8}\,}\end{split}\)
次の数の分母の有理化をせよ。
\(\begin{split}{\small (4)}~\frac{\,2\,}{\,\sqrt{8}\,}\end{split}\)
先に \(\sqrt{8}=\sqrt{2^3}=2\sqrt{2}\) と計算しておくと、
\(\begin{split}&\frac{\,2\,}{\,\sqrt{8}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,2\,}{\,2\sqrt{2}\,}\end{split}\)
\(2\) を約分すると、
\(\require{cancel} \begin{split}~~=~&\frac{\,\cancel{2}^{1}\,}{\,\cancel{2}^{1}\times\sqrt{2}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\end{split}\)
分母分子に \(\sqrt{2}\) を掛け算すると、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\times\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{2}\,}\\[2pt]~~=~&\frac{\,1\times\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{2}\times\sqrt{2}\,}\end{split}\)
\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) より、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}\end{split}\)
したがって、答えは \(\begin{split}{\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}}\end{split}\) となる
問題解説(5)
問題
\(\begin{split}{\small (5)}~\frac{\,10\,}{\,\sqrt{24}\,}\end{split}\)
次の数の分母の有理化をせよ。
\(\begin{split}{\small (5)}~\frac{\,10\,}{\,\sqrt{24}\,}\end{split}\)
先に \(\sqrt{24}=\sqrt{2^2\times6}=2\sqrt{6}\) と計算しておくと、
\(\begin{split}&\frac{\,10\,}{\,\sqrt{24}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,10\,}{\,2\sqrt{6}\,}\end{split}\)
\(10\) と \(2\) を約分すると、
\(\require{cancel} \begin{split}~~=~&\frac{\,\cancel{10}^{5}\,}{\,\cancel{2}^{1}\times\sqrt{6}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,5\,}{\,\sqrt{6}\,}\end{split}\)
分母分子に \(\sqrt{6}\) を掛け算すると、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,5\,}{\,\sqrt{6}\,}\times\frac{\,\sqrt{6}\,}{\,\sqrt{6}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,5\times\sqrt{6}\,}{\,\sqrt{6}\times\sqrt{6}\,}\end{split}\)
\(\sqrt{6}\times\sqrt{6}=6\) より、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,5\sqrt{6}\,}{\,6\,}\end{split}\)
したがって、答えは \(\begin{split}{\frac{\,5\sqrt{6}\,}{\,6\,}}\end{split}\) となる
問題解説(6)
問題
\(\begin{split}{\small (6)}~\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{20}\,}\end{split}\)
次の数の分母の有理化をせよ。
\(\begin{split}{\small (6)}~\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{20}\,}\end{split}\)
先に \(\sqrt{20}=\sqrt{2^2\times5}=2\sqrt{5}\) と計算しておくと、
\(\begin{split}&\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{20}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\sqrt{5}\,}\end{split}\)
分母分子に \(\sqrt{5}\) を掛け算すると、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\sqrt{5}\,}\times\frac{\,\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{5}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{3}\times\sqrt{5}\,}{\,2\sqrt{5}\times\sqrt{5}\,}\end{split}\)
\(\sqrt{5}\times\sqrt{5}=5\) より、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,\sqrt{3\times5}\,}{\,2\times5\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{15}\,}{\,10\,}\end{split}\)
したがって、答えは \(\begin{split}{\frac{\,\sqrt{15}\,}{\,10\,}}\end{split}\) となる
【問題一覧】中３｜平方根
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