根号を含む式の乗法・除法と答え方の解法
Point：根号を含む式の乗法
① ルートの中の数を簡単にする。
\(\begin{split}&\sqrt{50}{\, \small \times \,}\sqrt{40}
\\[2pt]~~=~&\sqrt{2{\, \small \times \,}5^2}{\, \small \times \,}\sqrt{2^2{\, \small \times \,}10}=5\sqrt{2}{\, \small \times \,}2\sqrt{10}\end{split}\)
② ルートの外の数同士、ルートの中の数同士をそれぞれ掛け算する。
\(\begin{split}~~=~&5{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\sqrt{2{\, \small \times \,}10}=10\sqrt{20}\end{split}\)
③ さらにルートの中を簡単にする。
\(\begin{split}~~=~&10\sqrt{2^2{\, \small \times \,}5}=10{\, \small \times \,}2\sqrt{5}=20\sqrt{5}\end{split}\)
■ 根号の中の掛け算
① ルートの中の数の積で表し、それぞれの数を素因数分解する。
\(\begin{split}&\sqrt{50}{\, \small \times \,}\sqrt{40}
\\[2pt]~~=~&\sqrt{50{\, \small \times \,}40}
\\[2pt]~~=~&\sqrt{2{\, \small \times \,}5^2{\, \small \times \,}2^3{\, \small \times \,}5}\end{split}\)
② ルートの中の数を簡単にする。
\(\begin{split}~~=~&\sqrt{2^2{\, \small \times \,}2^2{\, \small \times \,}5^2{\, \small \times \,}5}
\\[2pt]~~=~&2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}5{\, \small \times \,}\sqrt{5}=20\sqrt{5}
\end{split}\)
■ 交換法則を使った解き方
① ルートの中の数を簡単にする。
\(\begin{split}&\sqrt{50}{\, \small \times \,}\sqrt{40}
\\[2pt]~~=~&\sqrt{2{\, \small \times \,}5^2}{\, \small \times \,}\sqrt{2^2{\, \small \times \,}10}=5\sqrt{2}{\, \small \times \,}2\sqrt{10}\end{split}\)
② ルートの外の数同士、ルートの中の数同士をそれぞれ掛け算する。
\(\begin{split}~~=~&5{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\sqrt{2{\, \small \times \,}10}=10\sqrt{20}\end{split}\)
③ さらにルートの中を簡単にする。
\(\begin{split}~~=~&10\sqrt{2^2{\, \small \times \,}5}=10{\, \small \times \,}2\sqrt{5}=20\sqrt{5}\end{split}\)
■ 根号の中の掛け算
① ルートの中の数の積で表し、それぞれの数を素因数分解する。
\(\begin{split}&\sqrt{50}{\, \small \times \,}\sqrt{40}
\\[2pt]~~=~&\sqrt{50{\, \small \times \,}40}
\\[2pt]~~=~&\sqrt{2{\, \small \times \,}5^2{\, \small \times \,}2^3{\, \small \times \,}5}\end{split}\)
② ルートの中の数を簡単にする。
\(\begin{split}~~=~&\sqrt{2^2{\, \small \times \,}2^2{\, \small \times \,}5^2{\, \small \times \,}5}
\\[2pt]~~=~&2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}5{\, \small \times \,}\sqrt{5}=20\sqrt{5}
\end{split}\)
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Point：根号を含む式の除法
① ルートの中の数を簡単にして、割り算を分数で表す。
\(\begin{split}&\sqrt{45}{\, \small \div \,}\sqrt{10}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,3\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{10}\,}
\end{split}\)
② ルートの外の数同士、ルートの中の数同士で約分をする。
\(\begin{split}\require{cancel} ~~=~\frac{\,3\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{10}\,}=\frac{\,3\sqrt{\cancel{5}^{1}}\,}{\,\sqrt{\cancel{10}^{2}}\,}=\frac{\,3\,}{\,\sqrt{2}\,}\end{split}\)
③ 分母に平方根をふくむときは、分母の有理化をする。
\(\begin{split}~~=~\frac{\,3\,}{\,\sqrt{2}\,}{\, \small \times \,}\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{2}\,}=\frac{\,3\sqrt{2}\,}{\,2\,}\end{split}\)
根号を含む式の除法の計算は、
① ルートの中の数を簡単にして、割り算を分数で表す。
\(\begin{split}&\sqrt{45}{\, \small \div \,}\sqrt{10}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,3\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{10}\,}
\end{split}\)
② ルートの外の数同士、ルートの中の数同士で約分をする。
\(\begin{split}\require{cancel} ~~=~\frac{\,3\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{10}\,}=\frac{\,3\sqrt{\cancel{5}^{1}}\,}{\,\sqrt{\cancel{10}^{2}}\,}=\frac{\,3\,}{\,\sqrt{2}\,}\end{split}\)
③ 分母に平方根をふくむときは、分母の有理化をする。
\(\begin{split}~~=~\frac{\,3\,}{\,\sqrt{2}\,}{\, \small \times \,}\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{2}\,}=\frac{\,3\sqrt{2}\,}{\,2\,}\end{split}\)
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問題解説：根号を含む式の乗法・除法と答え方
問題解説(1)
問題
\(\begin{split}{\small (1)}~\sqrt{12}{\, \small \times \,}\sqrt{18}\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (1)}~\sqrt{12}{\, \small \times \,}\sqrt{18}\end{split}\)
ルートの中の数を簡単にすると、
\(12=2^2{\, \small \times \,}3~,~18=2{\, \small \times \,}3^2\) より、
\(\begin{split}&\sqrt{12}{\, \small \times \,}\sqrt{18}\\[2pt]~~=~&\sqrt{2^2{\, \small \times \,}3}{\, \small \times \,}\sqrt{3^2{\, \small \times \,}2}\\[2pt]~~=~&2\sqrt{3}{\, \small \times \,}3\sqrt{2}\end{split}\)
ルートの外の数同士、ルートの中の数同士をそれぞれ掛け算すると、
\(\begin{split}~~=~&2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\sqrt{3{\, \small \times \,}2}\\[2pt]~~=~&6\sqrt{6}\end{split}\)
ルートの中はこれ以上簡単にはできない
したがって、答えは \(6\sqrt{6}\) となる
【別解】
ルートの中の数の積で表し、それぞれの数を素因数分解すると、
\(\begin{split}&\sqrt{12}{\, \small \times \,}\sqrt{18}
\\[2pt]~~=~&\sqrt{12{\, \small \times \,}18}
\\[2pt]~~=~&\sqrt{2^2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}3^2}
\end{split}\)
ルートの中の数を簡単にすると、
\(\begin{split}~~=~&\sqrt{2^2{\, \small \times \,}3^2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}3}
\\[2pt]~~=~&2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\sqrt{{\, \small \times \,}3}
\\[2pt]~~=~&6\sqrt{6}
\end{split}\)
したがって、答えは \(6\sqrt{6}\) となる
問題解説(2)
問題
\(\begin{split}{\small (2)}~\sqrt{24}{\, \small \times \,}\left(-\sqrt{27}\right)\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (2)}~\sqrt{24}{\, \small \times \,}\left(-\sqrt{27}\right)\end{split}\)
異符号の掛け算より、符号はマイナスとなる
ルートの中の数の積で表し、それぞれの数を素因数分解すると、
\(\begin{split}&\sqrt{24}{\, \small \times \,}\left(-\sqrt{27}\right)
\\[2pt]~~=~&-\sqrt{24{\, \small \times \,}27}
\\[2pt]~~=~&-\sqrt{2^3{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}3^3}
\end{split}\)
ルートの中の数を簡単にすると、
\(\begin{split}~~=~&-\sqrt{2^2{\, \small \times \,}3^2{\, \small \times \,}3^2{\, \small \times \,}2}
\\[2pt]~~=~&-2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\sqrt{2}
\\[2pt]~~=~&-18\sqrt{2}
\end{split}\)
したがって、答えは \(-18\sqrt{2}\) となる
問題解説(3)
問題
\(\begin{split}{\small (3)}~\sqrt{15}{\, \small \times \,}\sqrt{20}\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (3)}~\sqrt{15}{\, \small \times \,}\sqrt{20}\end{split}\)
ルートの中の数の積で表し、それぞれの数を素因数分解すると、
\(\begin{split}&\sqrt{15}{\, \small \times \,}\sqrt{20}
\\[2pt]~~=~&\sqrt{15{\, \small \times \,}20}
\\[2pt]~~=~&\sqrt{3{\, \small \times \,}5{\, \small \times \,}2^2{\, \small \times \,}5}
\end{split}\)
ルートの中の数を簡単にすると、
\(\begin{split}~~=~&\sqrt{2^2{\, \small \times \,}5^2{\, \small \times \,}3}
\\[2pt]~~=~&2{\, \small \times \,}5{\, \small \times \,}\sqrt{3}
\\[2pt]~~=~&10\sqrt{3}
\end{split}\)
したがって、答えは \(10\sqrt{3}\) となる
問題解説(4)
問題
\(\begin{split}{\small (4)}~\sqrt{7}{\, \small \div \,}\sqrt{21}\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (4)}~\sqrt{7}{\, \small \div \,}\sqrt{21}\end{split}\)
※ ルートの中はこれ以上簡単にはできない。
割り算を分数で表すと、
\(\begin{split}&\sqrt{7}{\, \small \div \,}\sqrt{21}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{7}\,}{\,\sqrt{21}\,}\end{split}\)
ルートの中で約分すると、
\(\require{cancel} \begin{split}~~=~&\frac{\,\sqrt{\cancel{7}^{1}}\,}{\,\sqrt{\cancel{21}^{3}}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\end{split}\)
分母分子に \(\sqrt{3}\) を掛けて、分母を有理化すると、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}{\, \small \times \,}\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{3}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,1{\, \small \times \,}\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{3}{\, \small \times \,}\sqrt{3}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,3\,}\end{split}\)
したがって、答えは \(\begin{split}{\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,3\,}}\end{split}\) となる
問題解説(5)
問題
\(\begin{split}{\small (5)}~\sqrt{40}{\, \small \div \,}\sqrt{6}\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (5)}~\sqrt{40}{\, \small \div \,}\sqrt{6}\end{split}\)
ルートの中の数を簡単にすると、
\(40=2^2{\, \small \times \,}10\) より、
\(\begin{split}&\sqrt{40}{\, \small \div \,}\sqrt{6}\\[2pt]~~=~&\sqrt{2^2{\, \small \times \,}10}{\, \small \div \,}\sqrt{6}\\[2pt]~~=~&2\sqrt{10}{\, \small \div \,}\sqrt{6}\end{split}\)
割り算を分数で表すと、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,2\sqrt{10}\,}{\,\sqrt{6}\,}\end{split}\)
ルートの中で約分すると、
\(\require{cancel} \begin{split}~~=~&\frac{\,2\sqrt{\cancel{10}^{5}}\,}{\,\sqrt{\cancel{6}^{3}}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,2\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{3}\,}\end{split}\)
分母分子に \(\sqrt{3}\) を掛けて、分母を有理化すると、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,2\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{3}\,}{\, \small \times \,}\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{3}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,2\sqrt{5}{\, \small \times \,}\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{3}{\, \small \times \,}\sqrt{3}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,2\sqrt{5{\, \small \times \,}3}\,}{\,3\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,2\sqrt{15}\,}{\,3\,}\end{split}\)
したがって、答えは \(\begin{split}{\frac{\,2\sqrt{15}\,}{\,3\,}}\end{split}\) となる
問題解説(6)
問題
\(\begin{split}{\small (6)}~-\sqrt{28}{\, \small \div \,}\sqrt{35}\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (6)}~-\sqrt{28}{\, \small \div \,}\sqrt{35}\end{split}\)
ルートの中の数を簡単にすると、
\(28=2^2{\, \small \times \,}7\) より、
\(\begin{split}&-\sqrt{28}{\, \small \div \,}\sqrt{35}\\[2pt]~~=~&-\sqrt{2^2{\, \small \times \,}7}{\, \small \div \,}\sqrt{35}\\[2pt]~~=~&-2\sqrt{7}{\, \small \div \,}\sqrt{35}\end{split}\)
割り算を分数で表すと、
\(\begin{split}~~=~&-\frac{\,2\sqrt{7}\,}{\,\sqrt{35}\,}\end{split}\)
ルートの中で約分すると、
\(\require{cancel} \begin{split}~~=~&-\frac{\,2\sqrt{\cancel{7}^{1}}\,}{\,\sqrt{\cancel{35}^{5}}\,}
\\[3pt]~~=~&-\frac{\,2\,}{\,\sqrt{5}\,}\end{split}\)
分母分子に \(\sqrt{5}\) を掛けて、分母を有理化すると、
\(\begin{split}~~=~&-\frac{\,2\,}{\,\sqrt{5}\,}{\, \small \times \,}\frac{\,\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{5}\,}\\[3pt]~~=~&-\frac{\,2{\, \small \times \,}\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{5}{\, \small \times \,}\sqrt{5}\,}\\[3pt]~~=~&-\frac{\,2\sqrt{5}\,}{\,5\,}\end{split}\)
したがって、答えは \(-\begin{split}{\frac{\,2\sqrt{5}\,}{\,5\,}}\end{split}\) となる
【問題一覧】中３｜平方根
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