平方根の近似値の解法
Point：平方根の近似値
\(\sqrt{2}=1.414\) のとき、\(\sqrt{200}\) の値は？
① 求める値を式変形して、\(\sqrt{100}=10\) を作る。
\(\begin{split}~~~\sqrt{200}=\sqrt{100}{\, \small \times \,}\sqrt{2}=10\sqrt{2}\end{split}\)
② 値を代入して近似値を求める。
\(\begin{split}~~~10{\, \small \times \,}1.414=14.14\end{split}\)
■ 小数の平方根の近似値
\(\sqrt{2}=1.414\) のとき、\(\sqrt{0.02}\) の値は？
① 求める値を分数で表して、分母に \(\sqrt{100}=10\) を作る。
\(\begin{split}~~~\sqrt{0.02}=\sqrt{\frac{\,2\,}{\,100\,}}=\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,10\,}\end{split}\)
② 値を代入して近似値を求める。
\(\begin{split}~~~\frac{\,1.414\,}{\,10\,}=0.1414\end{split}\)
■ 平方根の近似値
\(\sqrt{2}=1.414\) のとき、\(\sqrt{200}\) の値は？
① 求める値を式変形して、\(\sqrt{100}=10\) を作る。
\(\begin{split}~~~\sqrt{200}=\sqrt{100}{\, \small \times \,}\sqrt{2}=10\sqrt{2}\end{split}\)
② 値を代入して近似値を求める。
\(\begin{split}~~~10{\, \small \times \,}1.414=14.14\end{split}\)
■ 小数の平方根の近似値
\(\sqrt{2}=1.414\) のとき、\(\sqrt{0.02}\) の値は？
① 求める値を分数で表して、分母に \(\sqrt{100}=10\) を作る。
\(\begin{split}~~~\sqrt{0.02}=\sqrt{\frac{\,2\,}{\,100\,}}=\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,10\,}\end{split}\)
② 値を代入して近似値を求める。
\(\begin{split}~~~\frac{\,1.414\,}{\,10\,}=0.1414\end{split}\)
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問題解説：平方根の近似値
問題解説(1)
問題
\(\begin{split}{\small (1)}~\sqrt{300}\end{split}\)
\(\sqrt{3}=1.732~,~\sqrt{30}=5.477\) として、次の値を求めよ。
\(\begin{split}{\small (1)}~\sqrt{300}\end{split}\)
求める値を式変形して、ルートの中の数に \(\sqrt{100}\) を作ると、
\(\begin{split}&\sqrt{300}\\[2pt]~~=~&\sqrt{100}{\, \small \times \,}\sqrt{3}\\[2pt]~~=~&10\sqrt{3}\end{split}\)
\(\sqrt{3}=1.732\) を代入すると、
\(\begin{split}~~=~&10{\, \small \times \,}1.732\\[2pt]~~=~&17.32\end{split}\)
したがって、答えは \(17.32\) となる
問題解説(2)
問題
\(\begin{split}{\small (2)}~\sqrt{3000}\end{split}\)
\(\sqrt{3}=1.732~,~\sqrt{30}=5.477\) として、次の値を求めよ。
\(\begin{split}{\small (2)}~\sqrt{3000}\end{split}\)
求める値を式変形して、ルートの中の数に \(\sqrt{100}\) を作ると、
※ \(\sqrt{1000}\) ではなく \(\sqrt{100}\) を作る。
\(\begin{split}&\sqrt{3000}\\[2pt]~~=~&\sqrt{100}{\, \small \times \,}\sqrt{30}\\[2pt]~~=~&10\sqrt{30}\end{split}\)
\(\sqrt{30}=5.477\) を代入すると、
\(\begin{split}~~=~&10{\, \small \times \,}5.477\\[2pt]~~=~&54.77\end{split}\)
したがって、答えは \(54.77\) となる
問題解説(3)
問題
\(\begin{split}{\small (3)}~\sqrt{0.03}\end{split}\)
\(\sqrt{3}=1.732~,~\sqrt{30}=5.477\) として、次の値を求めよ。
\(\begin{split}{\small (3)}~\sqrt{0.03}\end{split}\)
分数で表し、分母に \(\sqrt{100}\) を作ると、
\(\begin{split}&\sqrt{0.03}\\[3pt]~~=~&\sqrt{\frac{\,3\,}{\,100\,}}\end{split}\)
\(\sqrt{100}=10\) より、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,10\,}\end{split}\)
\(\sqrt{3}=1.732\) を代入すると、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,1.732\,}{\,10\,}\\[3pt]~~=~&0.1732\end{split}\)
したがって、答えは \(0.1732\) となる
問題解説(4)
問題
\(\begin{split}{\small (4)}~\sqrt{0.3}\end{split}\)
\(\sqrt{3}=1.732~,~\sqrt{30}=5.477\) として、次の値を求めよ。
\(\begin{split}{\small (4)}~\sqrt{0.3}\end{split}\)
分数で表すと、
\(\begin{split}&\sqrt{0.3}\\[3pt]~~=~&\sqrt{\frac{\,3\,}{\,10\,}}\end{split}\)
ルートの中の分母分子に \({\, \small \times \,}10\) すると、
※ \(\sqrt{100}\) を作るため。
\(\begin{split}~~=~&\sqrt{\frac{\,3{\, \small \times \,}10\,}{\,10{\, \small \times \,}10\,}}\\[3pt]~~=~&\sqrt{\frac{\,30\,}{\,100\,}}\end{split}\)
\(\sqrt{100}=10\) より、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,\sqrt{30}\,}{\,10\,}\end{split}\)
\(\sqrt{30}=5.477\) を代入すると、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,5.477\,}{\,10\,}\\[3pt]~~=~&0.5477\end{split}\)
したがって、答えは \(0.5477\) となる
問題解説(5)
問題
\(\begin{split}{\small (5)}~\sqrt{0.75}\end{split}\)
\(\sqrt{3}=1.732~,~\sqrt{30}=5.477\) として、次の値を求めよ。
\(\begin{split}{\small (5)}~\sqrt{0.75}\end{split}\)
分数で表すと、
\(\begin{split}&\sqrt{0.75}\\[3pt]~~=~&\sqrt{\frac{\,75\,}{\,100\,}}\end{split}\)
\(75=5^2{\, \small \times \,}3~,~100=10^2\) より、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,\sqrt{5^2{\, \small \times \,}3}\,}{\,\sqrt{10^2}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{5^2}{\, \small \times \,}\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{10^2}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,5\sqrt{3}\,}{\,10\,}\end{split}\)
約分すると、
\(\require{cancel} \begin{split}~~=~&\frac{\,\cancel{5}^{1}{\, \small \times \,}\sqrt{3}\,}{\,\cancel{10}^{2}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\end{split}\)
\(\sqrt{3}=1.732\) を代入すると、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,1.732\,}{\,2\,}\\[3pt]~~=~&0.866\end{split}\)
したがって、答えは \(0.866\) となる
【別解】
分数で表すと、
\(\begin{split}&\sqrt{0.75}\\[3pt]~~=~&\sqrt{\frac{\,75\,}{\,100\,}}\end{split}\)
約分すると、
\(\require{cancel} \begin{split}~~=~&\sqrt{\frac{\,\cancel{75}^{3}\,}{\,\cancel{100}^{4}\,}}\\[3pt]~~=~&\sqrt{\frac{\,3\,}{\,4\,}}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{4}\,}\end{split}\)
\(4=2^2\) より、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{2^2}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\end{split}\)
\(\sqrt{3}=1.732\) を代入すると、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,1.732\,}{\,2\,}\\[3pt]~~=~&0.866\end{split}\)
したがって、答えは \(0.866\) となる
問題解説(6)
問題
\(\begin{split}{\small (6)}~\frac{\,\sqrt{24}\,}{\,\sqrt{5}\,}\end{split}\)
\(\sqrt{3}=1.732~,~\sqrt{30}=5.477\) として、次の値を求めよ。
\(\begin{split}{\small (6)}~\frac{\,\sqrt{24}\,}{\,\sqrt{5}\,}\end{split}\)
ルートの中の数を簡単にすると、
\(24=2^2{\, \small \times \,}6\) より、
\(\begin{split}&\frac{\,\sqrt{24}\,}{\,\sqrt{5}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{2^2{\, \small \times \,}6}\,}{\,\sqrt{5}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{2^2}{\, \small \times \,}\sqrt{6}\,}{\,\sqrt{5}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,2\sqrt{6}\,}{\,\sqrt{5}\,}\end{split}\)
分母分子に \(\sqrt{5}\) を掛け算して、分母を有理化すると、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,2\sqrt{6}\,}{\,\sqrt{5}\,}{\, \small \times \,}\frac{\,\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{5}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,2\sqrt{6{\, \small \times \,}5}\,}{\,\sqrt{5{\, \small \times \,}5}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,2\sqrt{30}\,}{\,5\,}\end{split}\)
\(\sqrt{30}=5.477\) を代入すると、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,2{\, \small \times \,}5.477\,}{\,5\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,10.954\,}{\,5\,}\\[3pt]~~=~&2.1908\end{split}\)
したがって、答えは \(2.1908\) となる
【問題一覧】中３｜平方根
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