今回の問題は「乗法公式と平方根の計算」です。
\(~\)数研出版 これからの数学３ p.63 問2
\(~\)東京書籍 新しい数学３ p.60 問3
\(~\)啓林館 未来へひろがる数学３ p.58 問6
問題
\(\begin{split}{\small (1)}~\left(\sqrt{7}-3\right)\left(\sqrt{7}+5\right)\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~\left(\sqrt{3}-2\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~\left(\sqrt{5}+2\right)^2\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (4)}~\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)^2\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (5)}~\left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}-2\right)\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (6)}~\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (1)}~\left(\sqrt{7}-3\right)\left(\sqrt{7}+5\right)\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~\left(\sqrt{3}-2\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~\left(\sqrt{5}+2\right)^2\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (4)}~\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)^2\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (5)}~\left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}-2\right)\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (6)}~\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\end{split}\)
Point：乗法公式と平方根の計算
① ルートの数を文字として考えて、乗法公式を使って展開する。
■ 乗法公式
\(\begin{split}(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\end{split}\)
\(\begin{split}(x+a)^2=x^2+2ax+a^2\end{split}\)
\(\begin{split}(x+a)(x-a)=x^2-a^2\end{split}\)
② ルートの中の数が簡単にできるか確認する。
③ 同類項をまとめる。
例えば、
\(\begin{split}&\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2
\\[2pt]~~=~&\left(\sqrt{6}\right)^2+2{\, \small \times \,}\sqrt{6}{\, \small \times \,}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^2
\\[2pt]~~=~&6+2\sqrt{12}+2
\\[2pt]~~=~&(6+2)+2{\, \small \times \,}2\sqrt{3}
\\[2pt]~~=~&8+4\sqrt{3}
\end{split}\)
乗法公式を使ったと平方根の計算方法は、
① ルートの数を文字として考えて、乗法公式を使って展開する。
■ 乗法公式
\(\begin{split}(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\end{split}\)
\(\begin{split}(x+a)^2=x^2+2ax+a^2\end{split}\)
\(\begin{split}(x+a)(x-a)=x^2-a^2\end{split}\)
② ルートの中の数が簡単にできるか確認する。
③ 同類項をまとめる。
例えば、
\(\begin{split}&\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2
\\[2pt]~~=~&\left(\sqrt{6}\right)^2+2{\, \small \times \,}\sqrt{6}{\, \small \times \,}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^2
\\[2pt]~~=~&6+2\sqrt{12}+2
\\[2pt]~~=~&(6+2)+2{\, \small \times \,}2\sqrt{3}
\\[2pt]~~=~&8+4\sqrt{3}
\end{split}\)
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