今回の問題は「平方根を含む式の値」です。
\(~\)数研出版 これからの数学３ p.62 問3
\(~\)東京書籍 新しい数学３ p.61 問5~6
\(~\)啓林館 未来へひろがる数学３ p.65 8
問題
\({\small (1)}~\)\(x=3+\sqrt{5}\) のとき、次の式の値を求めよ。
① \(\begin{split}2x-3\end{split}\)
② \(\begin{split}x^2-6x+9\end{split}\)
\({\small (2)}~\)\(x=\sqrt{3}+\sqrt{2}~,~y=\sqrt{3}-\sqrt{2}\) のとき、次の式の値を求めよ。
① \(\begin{split}x+y\end{split}\)
② \(\begin{split}x-y\end{split}\)
③ \(\begin{split}xy\end{split}\)
④ \(\begin{split}x^2-y^2\end{split}\)
⑤ \(\begin{split}x^2+2xy+y^2\end{split}\)
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(x=3+\sqrt{5}\) のとき、次の式の値を求めよ。
① \(\begin{split}2x-3\end{split}\)
② \(\begin{split}x^2-6x+9\end{split}\)
\({\small (2)}~\)\(x=\sqrt{3}+\sqrt{2}~,~y=\sqrt{3}-\sqrt{2}\) のとき、次の式の値を求めよ。
① \(\begin{split}x+y\end{split}\)
② \(\begin{split}x-y\end{split}\)
③ \(\begin{split}xy\end{split}\)
④ \(\begin{split}x^2-y^2\end{split}\)
⑤ \(\begin{split}x^2+2xy+y^2\end{split}\)
Point：平方根を含む式の値
\(x=1+\sqrt{2}~,~y=1-\sqrt{2}\) のとき、
\(x^2-2x+1\) や \(x^2-y^2\) の値は？
① 求める式を値を代入する前に式変形する。
② 代入して式の値を求める。
※ 代入するときは値に( )を付けて代入する。
例えば、
\(\begin{split}&x^2-2x+1
\\[2pt]~~=~&(x-1)^2
\end{split}\)
\(x=1+\sqrt{2}\) を代入すると、
\(\begin{split}~~=~&\left\{(1+\sqrt{2})-1\right\}^2
\\[2pt]~~=~&\left(\sqrt{2}\right)^2=2
\end{split}\)
\(\begin{split}&x^2-y^2
\\[2pt]~~=~&(x+y)(x-y)
\end{split}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~~~x+y&=&\left(1+\sqrt{2}\right)+\left(1-\sqrt{2}\right)=2
\\[2pt]~~~~~x-y&=&\left(1+\sqrt{2}\right)-\left(1-\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}
\end{eqnarray}\)
これらを代入すると、
\(\begin{split}~~=~&2{\, \small \times \,}2\sqrt{2}=4\sqrt{2}
\end{split}\)
平方根を含む条件式を代入する式の値は、
\(x=1+\sqrt{2}~,~y=1-\sqrt{2}\) のとき、
\(x^2-2x+1\) や \(x^2-y^2\) の値は？
① 求める式を値を代入する前に式変形する。
② 代入して式の値を求める。
※ 代入するときは値に( )を付けて代入する。
例えば、
\(\begin{split}&x^2-2x+1
\\[2pt]~~=~&(x-1)^2
\end{split}\)
\(x=1+\sqrt{2}\) を代入すると、
\(\begin{split}~~=~&\left\{(1+\sqrt{2})-1\right\}^2
\\[2pt]~~=~&\left(\sqrt{2}\right)^2=2
\end{split}\)
\(\begin{split}&x^2-y^2
\\[2pt]~~=~&(x+y)(x-y)
\end{split}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~~~x+y&=&\left(1+\sqrt{2}\right)+\left(1-\sqrt{2}\right)=2
\\[2pt]~~~~~x-y&=&\left(1+\sqrt{2}\right)-\left(1-\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}
\end{eqnarray}\)
これらを代入すると、
\(\begin{split}~~=~&2{\, \small \times \,}2\sqrt{2}=4\sqrt{2}
\end{split}\)
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