今回の問題は「平方根と自然数」です。
\(~\)数研出版 これからの数学３ p.70 4,5
\(~\)東京書籍 新しい数学３ p.66 5 / p.67 3
\(~\)啓林館 未来へひろがる数学３ p.64 7
問題
\({\small (1)}~\)次の値が整数となるような自然数 \(a\) のうち、もっとも小さな値を求めよ。また、そのときの整数を求めよ。
① \(\begin{split}\sqrt{12a}\end{split}\) ② \(\begin{split}\sqrt{40a}\end{split}\)
\({\small (2)}~\)次の値が整数となるような \(a\) の値をすべて求めよ。
① \(\begin{split}\sqrt{20-a}\end{split}\) ② \(\begin{split}\sqrt{41-a}\end{split}\)
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)次の値が整数となるような自然数 \(a\) のうち、もっとも小さな値を求めよ。また、そのときの整数を求めよ。
① \(\begin{split}\sqrt{12a}\end{split}\) ② \(\begin{split}\sqrt{40a}\end{split}\)
\({\small (2)}~\)次の値が整数となるような \(a\) の値をすべて求めよ。
① \(\begin{split}\sqrt{20-a}\end{split}\) ② \(\begin{split}\sqrt{41-a}\end{split}\)
Point：平方根と自然数
① ルートの中の数を素因数分解し、簡単にする。
\(\begin{split}~~~~~\sqrt{18a}=\sqrt{3^2\times2\times a}=3\sqrt{2a}\end{split}\)
② ルートの中が２乗の形になるような \(a\) で最小のものを考える。
\(\sqrt{2a}\) でルートの中が２乗の形になるのは、
\(a=2\) で、\(\sqrt{2^2}=2\) となる。
※ \(a=8\) でも \(\sqrt{2\times8}=\sqrt{4^2}\) となるが
最小ではない。
■ \(\sqrt{10-a}\) が整数となる自然数 \(a\) は？
① ルートの中の数は正で、２乗の形になるような値を調べる。
\(\begin{split}~~~~~1^2=1~,~2^2=4~,~3^2=9\end{split}\)
② ルートの中の数がそれぞれの値になるような \(a\) の値を求める。
\(\begin{split}\sqrt{1}=1\end{split}\) より、\(\begin{split}10-a=1~\Leftrightarrow~a=9\end{split}\)
\(\begin{split}\sqrt{4}=2\end{split}\) より、\(\begin{split}10-a=4~\Leftrightarrow~a=6\end{split}\)
\(\begin{split}\sqrt{9}=3\end{split}\) より、\(\begin{split}10-a=9~\Leftrightarrow~a=1\end{split}\)
よって、\(a=1~,~6~,~9\) となる。
■ \(\sqrt{18a}\) が整数となる最小の自然数 \(a\) は？
① ルートの中の数を素因数分解し、簡単にする。
\(\begin{split}~~~~~\sqrt{18a}=\sqrt{3^2\times2\times a}=3\sqrt{2a}\end{split}\)
② ルートの中が２乗の形になるような \(a\) で最小のものを考える。
\(\sqrt{2a}\) でルートの中が２乗の形になるのは、
\(a=2\) で、\(\sqrt{2^2}=2\) となる。
※ \(a=8\) でも \(\sqrt{2\times8}=\sqrt{4^2}\) となるが
最小ではない。
■ \(\sqrt{10-a}\) が整数となる自然数 \(a\) は？
① ルートの中の数は正で、２乗の形になるような値を調べる。
\(\begin{split}~~~~~1^2=1~,~2^2=4~,~3^2=9\end{split}\)
② ルートの中の数がそれぞれの値になるような \(a\) の値を求める。
\(\begin{split}\sqrt{1}=1\end{split}\) より、\(\begin{split}10-a=1~\Leftrightarrow~a=9\end{split}\)
\(\begin{split}\sqrt{4}=2\end{split}\) より、\(\begin{split}10-a=4~\Leftrightarrow~a=6\end{split}\)
\(\begin{split}\sqrt{9}=3\end{split}\) より、\(\begin{split}10-a=9~\Leftrightarrow~a=1\end{split}\)
よって、\(a=1~,~6~,~9\) となる。
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