２次方程式の解の解法
Point：２次方程式の解
※ ただし、\(a\) は \(0\) でない定数、\(b\) と \(c\) は定数。
２次方程式を成り立たせる文字の値を、その「２次方程式の解」といい、２次方程式の解をすべて求めることを「２次方程式を解く」という。
■ ２次方程式の解であるかの調べ方
例えば、\(x^2-3x+2=0\) は、
\(x=1\) を左辺に代入すると、
\(~~1^2-3 {\, \small \times \,} 1+2=1-3+2=0\)
左辺＝右辺より、\(x=1\) は解である
\(x=-1\) を左辺に代入すると、
\(~~(-1)^2-3{\, \small \times \,} (-1)+2=1+3+2=6\)
左辺＝右辺でないので、\(x=-1\) は解でない
すべての項を左辺に移項して、
\(ax^2+bx+c=0\) の形で表される方程式を「２次方程式」という。
※ ただし、\(a\) は \(0\) でない定数、\(b\) と \(c\) は定数。
２次方程式を成り立たせる文字の値を、その「２次方程式の解」といい、２次方程式の解をすべて求めることを「２次方程式を解く」という。
■ ２次方程式の解であるかの調べ方
例えば、\(x^2-3x+2=0\) は、
\(x=1\) を左辺に代入すると、
\(~~1^2-3 {\, \small \times \,} 1+2=1-3+2=0\)
左辺＝右辺より、\(x=1\) は解である
\(x=-1\) を左辺に代入すると、
\(~~(-1)^2-3{\, \small \times \,} (-1)+2=1+3+2=6\)
左辺＝右辺でないので、\(x=-1\) は解でない
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問題解説：２次方程式の解
問題解説(1)
問題
\({\small (1)}~\)次の方程式のうち２次方程式であるものを選び、\(ax^2+bx+c=0\) の \(a~,~b~,~c\) にあたる数をそれぞれ答えよ。
① \(\begin{split}x^2-3x+5=0\end{split}\)
② \(\begin{split}2x-1=8\end{split}\)
③ \(\begin{split}3x^2-5x+1=x^2+3\end{split}\)
④ \(\begin{split}x(x-1)=x^2+6\end{split}\)
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)次の方程式のうち２次方程式であるものを選び、\(ax^2+bx+c=0\) の \(a~,~b~,~c\) にあたる数をそれぞれ答えよ。
① \(\begin{split}x^2-3x+5=0\end{split}\)
② \(\begin{split}2x-1=8\end{split}\)
③ \(\begin{split}3x^2-5x+1=x^2+3\end{split}\)
④ \(\begin{split}x(x-1)=x^2+6\end{split}\)
① \(\begin{split}x^2-3x+5=0\end{split}\)
\(ax^2+bx+c=0\) の形となっているので、
２次方程式であり、\(a=1~,~b=-3~,~c=5\)
② \(\begin{split}2x-1=8\end{split}\)
すべての項を左辺に移項すると、
\(\begin{split}\begin{eqnarray}~~~2x-1&=&8\\[2pt]~~~2x-1-8&=&0\\[2pt]~~~2x-9&=&0\end{eqnarray}\end{split}\)
よって、２次方程式でない
③ \(\begin{split}3x^2-5x+1=x^2+3\end{split}\)
すべての項を左辺に移項すると、
\(\begin{split}\begin{eqnarray}~~~3x^2-5x+1&=&x^2+3\\[2pt]~~~3x^2-5x+1-x^2-3&=&0\\[2pt]~~~2x^2-5x-2&=&0\end{eqnarray}\end{split}\)
\(ax^2+bx+c=0\) の形となっているので、
２次方程式であり、\(a=2~,~b=-5~,~c=-2\)
④ \(\begin{split}x(x-1)=x^2+6\end{split}\)
展開して、すべての項を左辺に移項すると、
\(\begin{split}\begin{eqnarray}~~~x(x-1)&=&x^2+6\\[2pt]~~~x^2-x-x^2-6&=&0\\[2pt]~~~-x-6&=&0\end{eqnarray}\end{split}\)
よって、２次方程式でない
※ \(x^2\) があっても２次方程式になるとは限らない。
問題解説(2)
問題
\({\small (2)}~-2~,~-1~,~0~,~1~,~2~,~3\) のうち、次の２次方程式の解であるものをすべて選べ。
① \(\begin{split}x^2-5x+6=0\end{split}\)
② \(\begin{split}x^2+2x=0\end{split}\)
次の問いに答えよ。
\({\small (2)}~-2~,~-1~,~0~,~1~,~2~,~3\) のうち、次の２次方程式の解であるものをすべて選べ。
① \(\begin{split}x^2-5x+6=0\end{split}\)
② \(\begin{split}x^2+2x=0\end{split}\)
① \(\begin{split}x^2-5x+6=0\end{split}\)
左辺 \(x^2-5x+6\) に、
\(x=-2\) を代入すると、
\(\begin{split}\begin{split}&(-2)^2-5{\, \small \times \,}(-2)+6\\[2pt]~~=~&4+10+6=20\end{split}\end{split}\)
\(x=-1\) を代入すると、
\(\begin{split}\begin{split}&(-1)^2-5{\, \small \times \,}(-1)+6\\[2pt]~~=~&1+5+6=12\end{split}\end{split}\)
\(x=0\) を代入すると、
\(\begin{split}\begin{split}&0^2-5{\, \small \times \,}0+6\\[2pt]~~=~&0-0+6=6\end{split}\end{split}\)
\(x=1\) を代入すると、
\(\begin{split}\begin{split}&1^2-5{\, \small \times \,}1+6\\[2pt]~~=~&1-5+6=2\end{split}\end{split}\)
\(x=2\) を代入すると、
\(\begin{split}\begin{split}&2^2-5{\, \small \times \,}2+6\\[2pt]~~=~&4-10+6=0\end{split}\end{split}\)
\(x=3\) を代入すると、
\(\begin{split}\begin{split}&3^2-5{\, \small \times \,}3+6\\[2pt]~~=~&9-15+6=0\end{split}\end{split}\)
代入した式が \(0\) となる \(x\) の値が解となるので、
答えは \(x=2~,~3\) となる
② \(\begin{split}x^2+2x=0\end{split}\)
左辺 \(x^2+2x\) に、
\(x=-2\) を代入すると、
\(\begin{split}\begin{split}&(-2)^2+2{\, \small \times \,}(-2)\\[2pt]~~=~&4-4=0\end{split}\end{split}\)
\(x=-1\) を代入すると、
\(\begin{split}\begin{split}&(-1)^2+2{\, \small \times \,}(-1)\\[2pt]~~=~&1-2=-1\end{split}\end{split}\)
\(x=0\) を代入すると、
\(\begin{split}\begin{split}&0^2+2{\, \small \times \,}0\\[2pt]~~=~&0+0=0\end{split}\end{split}\)
\(x=1\) を代入すると、
\(\begin{split}\begin{split}&1^2+2{\, \small \times \,}1\\[2pt]~~=~&1+2=3\end{split}\end{split}\)
\(x=2\) を代入すると、
\(\begin{split}\begin{split}&2^2+2{\, \small \times \,}2\\[2pt]~~=~&4+4=8\end{split}\end{split}\)
\(x=3\) を代入すると、
\(\begin{split}\begin{split}&3^2+2{\, \small \times \,}3\\[2pt]~~=~&9+6=15\end{split}\end{split}\)
代入した式が \(0\) となる \(x\) の値が解となるので、
答えは \(x=-2~,~0\) となる
【問題一覧】中３｜２次方程式
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