平方根での２次方程式の解き方

Point：平方根での２次方程式の解き方

２次方程式 \(4x^2=9\) の解の求め方は、

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① \(x^2=\) ◯ と式変形する。

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　\(\begin{eqnarray}~~~4x^2&=&9\\[3pt]~~~x^2&=&\frac{\,9\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)

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② \(x\) が \(\begin{split}{\frac{\,9\,}{\,4\,}}\end{split}\) の平方根であることより、２次方程式の解を求める。

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　\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\pm\sqrt{\frac{\,9\,}{\,4\,}}=\pm\frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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　したがって、解は \(\begin{split}x=\pm{\frac{\,3\,}{\,2\,}}\end{split}\)

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※ 正の数と負の数を \(\pm\) でまとめて表す。

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問題

次の方程式を解け。

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\(\begin{split}{\small (1)}~~x^2=9\end{split}\)

平方根の考えを使って、解を求めると、

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\(\begin{eqnarray}~~~x^2&=&9\\[2pt]~~~x&=&\pm\,\sqrt{9}\\[2pt]~~~x&=&\pm\,\sqrt{3^2}\\[2pt]~~~x&=&\pm\,3\end{eqnarray}\)

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したがって、答えは \(\pm\,3\) となる

問題

次の方程式を解け。

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\(\begin{split}{\small (2)}~~3x^2=12\end{split}\)

両辺を \(3\) を割ると、

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\(\begin{eqnarray}~~~3x^2&=&12\\[3pt]~~~\frac{\,3x^2\,}{\,3\,}&=&\frac{\,12\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~x^2&=&4\end{eqnarray}\)

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平方根の考えを使って、解を求めると、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{12pt}~~~x^2&=&4\\[2pt]~~~x&=&\pm\,\sqrt{4}\\[2pt]~~~x&=&\pm\,\sqrt{2^2}\\[2pt]~~~x&=&\pm\,2\end{eqnarray}\)

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したがって、答えは \(\pm\,2\) となる

問題

次の方程式を解け。

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\(\begin{split}{\small (3)}~~x^2-5=0\end{split}\)

\(-5\) を移項すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~x^2-5&=&0\\[2pt]~~~x^2&=&5\end{eqnarray}\)

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平方根の考えを使って、解を求めると、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{16pt}~~~x^2&=&5\\[2pt]~~~x&=&\pm\,\sqrt{5}\end{eqnarray}\)

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※ ルートの中はこれ以上計算できない。

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したがって、答えは \(\pm\,\sqrt{5}\) となる

問題

次の方程式を解け。

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\(\begin{split}{\small (4)}~~25x^2=7\end{split}\)

両辺を \(25\) を割ると、

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\(\begin{eqnarray}~~~25x^2&=&7\\[3pt]~~~\frac{\,25x^2\,}{\,25\,}&=&\frac{\,7\,}{\,25\,}\\[3pt]~~~x^2&=&\frac{\,7\,}{\,25\,}\end{eqnarray}\)

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平方根の考えを使って、解を求めると、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{14pt}~~~x^2&=&\frac{\,7\,}{\,25\,}\\[3pt]~~~x&=&\pm\,\sqrt{\frac{\,7\,}{\,25\,}}\\[3pt]~~~x&=&\pm\,\frac{\,\sqrt{7}\,}{\,\sqrt{25}\,}\\[3pt]~~~x&=&\pm\,\frac{\,\sqrt{7}\,}{\,\sqrt{5^2}\,}\\[3pt]~~~x&=&\pm\,\frac{\,\sqrt{7}\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、答えは \(\begin{split}\pm\,{\frac{\,\sqrt{7}\,}{\,5\,}}\end{split}\) となる

問題

次の方程式を解け。

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\(\begin{split}{\small (5)}~~4x^2-8=1\end{split}\)

\(-8\) を移項すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~4x^2-8&=&1\\[2pt]~~~4x^2&=&1+8\\[2pt]~~~4x^2&=&9\end{eqnarray}\)

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両辺を \(4\) で割ると、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{8pt}~~~\frac{\,4x^2\,}{\,4\,}&=&\frac{\,9\,}{\,4\,}\\[3pt]~~~x^2&=&\frac{\,9\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)

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平方根の考えを使って、解を求めると、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{20pt}~~~x^2&=&\frac{\,9\,}{\,4\,}\\[3pt]~~~x&=&\pm\,\sqrt{\frac{\,9\,}{\,4\,}}\\[3pt]~~~x&=&\pm\,\frac{\,\sqrt{9}\,}{\,\sqrt{4}\,}\\[3pt]~~~x&=&\pm\,\frac{\,\sqrt{3^2}\,}{\,\sqrt{2^2}\,}\\[3pt]~~~x&=&\pm\,\frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、答えは \(\begin{split}\pm\,{\frac{\,3\,}{\,2\,}}\end{split}\) となる

問題

次の方程式を解け。

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\(\begin{split}{\small (6)}~~9x^2+2=10\end{split}\)

\(+2\) を移項すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~9x^2+2&=&10\\[2pt]~~~9x^2&=&10-2\\[2pt]~~~9x^2&=&8\end{eqnarray}\)

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両辺を \(9\) を割ると、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{8pt}~~~\frac{\,9x^2\,}{\,9\,}&=&\frac{\,8\,}{\,9\,}\\[3pt]~~~x^2&=&\frac{\,8\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)

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平方根の考えを使って、解を求めると、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{20pt}~~~x^2&=&\frac{\,8\,}{\,9\,}\\[3pt]~~~x&=&\pm\,\sqrt{\frac{\,8\,}{\,9\,}}\\[3pt]~~~x&=&\pm\,\frac{\,\sqrt{8}\,}{\,\sqrt{9}\,}\\[3pt]~~~x&=&\pm\,\frac{\,\sqrt{2^2\times2}\,}{\,\sqrt{3^2}\,}\\[3pt]~~~x&=&\pm\,\frac{\,2\sqrt{2}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、答えは \(\begin{split}\pm\,{\frac{\,2\sqrt{2}\,}{\,3\,}}\end{split}\) となる