因数分解できない２次方程式の解法
Point：因数分解できない２次方程式
① 定数項を右辺に移項する。
\(\begin{split}~~~x^2+8x=-9\end{split}\)
② \(x\) の係数の半分の２乗を両辺に加える。
\(8x\) より、\(4^2=16\) 両辺に加えると、
\(\begin{split}~~~x^2+8x+16=-9+16\end{split}\)
③ 左辺を因数分解して、\((x+m)^2=k\) の形の２次方程式とする。
\(\begin{split}~~~(x+4)^2=7\end{split}\)
④ ２乗の形 \((x+m)^2=k\) の２次方程式を解き、解を求める。
\(x+4\) は \(7\) の平方根より、
\(\begin{eqnarray}~~~x+4&=&\pm\,\sqrt{7}\\[2pt]~~~x&=&-4\pm\,\sqrt{7}\end{eqnarray}\)
２次方程式 \(x^2+8x+9=0\) の解の求め方は、
① 定数項を右辺に移項する。
\(\begin{split}~~~x^2+8x=-9\end{split}\)
② \(x\) の係数の半分の２乗を両辺に加える。
\(8x\) より、\(4^2=16\) 両辺に加えると、
\(\begin{split}~~~x^2+8x+16=-9+16\end{split}\)
③ 左辺を因数分解して、\((x+m)^2=k\) の形の２次方程式とする。
\(\begin{split}~~~(x+4)^2=7\end{split}\)
④ ２乗の形 \((x+m)^2=k\) の２次方程式を解き、解を求める。
\(x+4\) は \(7\) の平方根より、
\(\begin{eqnarray}~~~x+4&=&\pm\,\sqrt{7}\\[2pt]~~~x&=&-4\pm\,\sqrt{7}\end{eqnarray}\)
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問題解説：因数分解できない２次方程式
問題解説(1)
問題
\(\begin{split}{\small (1)}~~x^2+2x=2\end{split}\)
次の方程式を解け。
\(\begin{split}{\small (1)}~~x^2+2x=2\end{split}\)
\(x\) の係数 \(2\) の半分の２乗 \(1^2=1\) を両辺に加えると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+2x&=&2\\[2pt]~~~x^2+2x+1&=&2+1\end{eqnarray}\)
左辺を因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\hspace{14pt}(x+1)^2&=&3\end{eqnarray}\)
\(x+1\) は \(3\) の平方根より、
\(\begin{eqnarray}~~~\hspace{26pt}x+1&=&\pm\,\sqrt{3}\\[2pt]~~~x&=&-1\pm\,\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(x=-1\pm\,\sqrt{3}\) となる
問題解説(2)
問題
\(\begin{split}{\small (2)}~~x^2-4x-4=0\end{split}\)
次の方程式を解け。
\(\begin{split}{\small (2)}~~x^2-4x-4=0\end{split}\)
\(-4\) を移項すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-4x-4&=&0\\[2pt]~~~x^2-4x&=&4\end{eqnarray}\)
\(x\) の係数 \(-4\) の半分の２乗 \((-2)^2=4\) を両辺に加えると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2-4x+4&=&4+4\end{eqnarray}\)
左辺を因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\hspace{14pt}(x-2)^2&=&8\end{eqnarray}\)
\(x-2\) は \(8\) の平方根より、
\(\begin{eqnarray}~~~\hspace{27pt}x-2&=&\pm\,\sqrt{8}\\[2pt]~~~x&=&2\pm\,2\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(x=2\pm\,2\sqrt{2}\) となる
問題解説(3)
問題
\(\begin{split}{\small (3)}~~x^2+6x+4=0\end{split}\)
次の方程式を解け。
\(\begin{split}{\small (3)}~~x^2+6x+4=0\end{split}\)
\(+4\) を移項すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+6x+4&=&0\\[2pt]~~~x^2+6x&=&-4\end{eqnarray}\)
\(x\) の係数 \(6\) の半分の２乗 \(3^2=9\) を両辺に加えると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+6x+9&=&-4+9\end{eqnarray}\)
左辺を因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\hspace{14pt}(x+3)^2&=&5\end{eqnarray}\)
\(x+3\) は \(5\) の平方根より、
\(\begin{eqnarray}~~~\hspace{24pt}x+3&=&\pm\,\sqrt{5}\\[2pt]~~~x&=&-3\pm\,\sqrt{5}\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(x=-3\pm\,\sqrt{5}\) となる
問題解説(4)
問題
\(\begin{split}{\small (4)}~~x^2+3x=1\end{split}\)
次の方程式を解け。
\(\begin{split}{\small (4)}~~x^2+3x=1\end{split}\)
\(x\) の係数 \(3\) の半分の２乗 \(\begin{split}\left({\frac{\,3\,}{\,2\,}}\right)^2={\frac{\,9\,}{\,4\,}}\end{split}\) を両辺に加えると、
\(\begin{eqnarray}~~~\hspace{10pt}x^2+3x&=&1\\[3pt]~~~x^2+3x+\frac{\,9\,}{\,4\,}&=&1+\frac{\,9\,}{\,4\,}\\[3pt]~~~x^2+3x+\frac{\,9\,}{\,4\,}&=&\frac{\,4+9\,}{\,4\,}\\[3pt]~~~x^2+3x+\frac{\,9\,}{\,4\,}&=&\frac{\,13\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
左辺を因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+2{\, \small \times \,}\frac{\,3\,}{\,2\,}x+\left(\frac{\,3\,}{\,2\,}\right)^2&=&\frac{\,13\,}{\,4\,}\\[3pt]~~~\left(x+\frac{\,3\,}{\,2\,}\right)^2&=&\frac{\,13\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
\(\begin{split}x+\frac{\,3\,}{\,2\,}\end{split}\) は \(\begin{split}\frac{\,13\,}{\,4\,}\end{split}\) の平方根より、
\(\begin{eqnarray}~~~\hspace{10pt}x+\frac{\,3\,}{\,2\,}&=&\pm\,\sqrt{\frac{\,13\,}{\,4\,}}\\[3pt]~~~x&=&-\frac{\,3\,}{\,2\,}\pm\,\frac{\,\sqrt{13}\,}{\,\sqrt{4}\,}\\[3pt]~~~x&=&-\frac{\,3\,}{\,2\,}\pm\,\frac{\,\sqrt{13}\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~x&=&\frac{\,-3\pm\,\sqrt{13}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(\begin{split}x={\frac{\,-3\pm\,\sqrt{13}\,}{\,2\,}}\end{split}\) となる
【問題一覧】中３｜２次方程式
このページは「中学数学３ ２次方程式」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないとき...
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