いろいろな2次方程式の解法
Point:いろいろな2次方程式
① 式の展開して、すべての項を左辺に移項する。
\(\begin{eqnarray}~(x+2)(x-2)&=&2x-1
\\[2pt]~~~x^2-4&=&2x-1
\\[2pt]~~~x^2-2x-3&=&0
\end{eqnarray}\)
② 左辺か因数分解できるときは、因数分解して解を求める。また、因数分解できないときは、解の公式を使う。
左辺を因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~x^2-2x-3&=&0
\\[2pt]~~~(x+1)(x-3)&=&0
\\[2pt]~~~x&=&-1~,~3
\end{eqnarray}\)
2次方程式 \((x+2)(x-2)=2x-1\) の解の求め方は、
① 式の展開して、すべての項を左辺に移項する。
\(\begin{eqnarray}~(x+2)(x-2)&=&2x-1
\\[2pt]~~~x^2-4&=&2x-1
\\[2pt]~~~x^2-2x-3&=&0
\end{eqnarray}\)
② 左辺か因数分解できるときは、因数分解して解を求める。また、因数分解できないときは、解の公式を使う。
左辺を因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~x^2-2x-3&=&0
\\[2pt]~~~(x+1)(x-3)&=&0
\\[2pt]~~~x&=&-1~,~3
\end{eqnarray}\)
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問題解説:いろいろな2次方程式
問題解説(1)
問題
\(\begin{split}{\small (1)}~~x(x+2)=3\end{split}\)
次の方程式を解け。
\(\begin{split}{\small (1)}~~x(x+2)=3\end{split}\)
式を展開して、すべての項を左辺に移項すると、
\(\begin{split}\begin{eqnarray}~~~x(x+2)&=&3\\[2pt]~~~x^2+2x&=&3\\[2pt]~~~x^2+2x-3&=&0\end{eqnarray}\end{split}\)
左辺を因数分解すると、
\(\begin{split}\begin{eqnarray}~~~x^2+2x-3&=&0\\[2pt]~~~(x+3)(x-1)&=&0\\[2pt]~~~x&=&-3~,~1\end{eqnarray}\end{split}\)
したがって、答えは \(x=-3~,~1\) となる
問題解説(2)
問題
\(\begin{split}{\small (2)}~~(x+6)(x-1)=3x-2\end{split}\)
次の方程式を解け。
\(\begin{split}{\small (2)}~~(x+6)(x-1)=3x-2\end{split}\)
式を展開して、すべての項を左辺に移項すると、
\(\begin{split}\begin{eqnarray}~~~(x+6)(x-1)&=&3x-2\\[2pt]~~~x^2+5x-6&=&3x-2\\[2pt]~~~x^2+5x-6-3x+2&=&0\\[2pt]~~~x^2+2x-4&=&0\end{eqnarray}\end{split}\)
左辺が因数分解できないので、解の公式を使うと、
( \(a=1~,~b=2~,~c=-4\) として、)
\(\begin{split}\begin{eqnarray}~~~x&=&\frac{\,-2\pm\sqrt{2^2-4\times1\times(-4)}\,}{\,2\times1\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,-2\pm\sqrt{4+16}\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,-2\pm\sqrt{20}\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,-2\pm2\sqrt{5}\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,2\left(-1\pm\sqrt{5}\right)\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~&=&-1\pm\sqrt{5}\end{eqnarray}\end{split}\)
したがって、答えは \(x=-1\pm\sqrt{5}\) となる
問題解説(3)
問題
\(\begin{split}{\small (3)}~~(x+9)^2=2(3x+23)\end{split}\)
次の方程式を解け。
\(\begin{split}{\small (3)}~~(x+9)^2=2(3x+23)\end{split}\)
式を展開して、すべての項を左辺に移項すると、
\(\begin{split}\begin{eqnarray}~~~(x+9)^2&=&2(3x+23)\\[2pt]~~~x^2+18x+81&=&6x+46\\[2pt]~~~x^2+18x+81-6x-46&=&0\\[2pt]~~~x^2+12x+35&=&0\end{eqnarray}\end{split}\)
左辺を因数分解すると、
\(\begin{split}\begin{eqnarray}~~~x^2+12x+35&=&0\\[2pt]~~~(x+5)(x+7)&=&0\\[2pt]~~~x&=&-5~,~-7\end{eqnarray}\end{split}\)
したがって、答えは \(x=-5~,~-7\) となる
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