解が与えられた２次方程式

Point：解が与えられた２次方程式

\(x\) の２次方程式 \(x^2+2x+a=0\) の解の１つが \(1\) のとき、\(a\) の値ともう１つの解は、

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① 与えられた解 \(x=1\) を２次方程式に代入して \(a\) の値を求める。

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　\(x=-1\) を代入すると、

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　\(\begin{eqnarray}~~~1^2+2{\, \small \times \,}1+a&=&0\\[2pt]~~~a&=&-3\end{eqnarray}\)

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② もとの２次方程式に \(a\) の値を代入して、２次方程式の解を求めよ。

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　\(a=-3\) より、

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　\(\begin{eqnarray}~~~x^2+2x-3&=&0\\[2pt]~~~(x-1)(x+3)&=&0\\[2pt]~~~x&=&1~,~-3\end{eqnarray}\)

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問題

次の問いに答えよ。

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\({\small (1)}~\)\(x\) の２次方程式 \(x^2+ax-10=0\) の解の１つが \(2\) のとき、\(a\) の値ともう１つの解を求めよ。

\(x=2\) を２次方程式に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~2^2+a{\, \small \times \,} 2-10&=&0\\[2pt]~~~4+2a-10&=&0\\[2pt]~~~2a-6&=&0\\[2pt]~~~2a&=&6\\[2pt]~~~a&=&3\end{eqnarray}\)

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もとの２次方程式に \(a=3\) を代入して、この２次方程式を解くと、

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\(\begin{eqnarray}~~~x^2+3x-10&=&0\\[2pt]~~~(x+5)(x-2)&=&0\\[2pt]~~~x&=&2~,~-5\end{eqnarray}\)

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したがって、
　答えは \(a=3\)、もう１つの解 \(x=-5\)
となる

問題

次の問いに答えよ。

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\({\small (2)}~\)\(x\) の２次方程式 \(x^2-2x+a=0\) の解の１つが \(1-\sqrt{2}\) のとき、\(a\) の値ともう１つの解を求めよ。

\(x=1-\sqrt{2}\) を２次方程式に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\left(1-\sqrt{2}\right)^2-2\left(1-\sqrt{2}\right)+a&=&0\\[2pt]~~~1-2{\, \small \times \,}1{\, \small \times \,}\sqrt{2}+\left(-\sqrt{2}\right)^2\hspace{35pt}&&\\[2pt]~~~-2{\, \small \times \,}1-2{\, \small \times \,}\left(-\sqrt{2}\right)+a&=&0\\[2pt]~~~1-2\sqrt{2}+2-2+2\sqrt{2}+a&=&0\\[2pt]~~~1+a&=&0\\[2pt]~~~a&=&-1\end{eqnarray}\)

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もとの２次方程式に \(a=-1\) を代入して、この２次方程式を解くと、

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　　\(\begin{split}~~~x^2-2x-1=0\end{split}\)

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左辺が因数分解できないので、解の公式より、

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\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\frac{\,-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4{\, \small \times \,}1{\, \small \times \,}(-1)}\,}{\,2{\, \small \times \,}1\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,2\pm\sqrt{4+4}\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,2\pm\sqrt{8}\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,2\pm2\sqrt{2}\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~&=&\frac{\,2\left(1\pm\sqrt{2}\right)\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~&=&1\pm\sqrt{2}\end{eqnarray}\)

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したがって、
　答えは \(a=-1\)、もう１つの解 \(x=1+\sqrt{2}\)
となる