２次方程式と整数の解法
Point：２次方程式と整数
① 与えられた整数を文字で表す。
大小２つの自然数の差が \(3\) より、
１つを \(x\) とすると、もう１つが \(x+3\)
※ 連続する２つの整数では \(x~,~x+1\)
② 問題文の条件より、２次方程式を立てる。
大小２つの自然数の積が \(10\) より、
\(\begin{split}x(x+3)=10\end{split}\)
③ ２次方程式を解く。
\(\begin{eqnarray}~x^2+3x-10&=&0
\\[2pt]~~~(x+5)(x-2)&=&0
\\[2pt]~~~x&=&-5~,~2
\end{eqnarray}\)
④ 解がこの問題に適していることを確認する。
自然数より、\(x=-5\) は適さない
よって、２つの自然数は \(2~,~5\)
大小２つの自然数の差が \(3\) で積が \(10\) のとき、この２つの自然数の求め方は、
① 与えられた整数を文字で表す。
大小２つの自然数の差が \(3\) より、
１つを \(x\) とすると、もう１つが \(x+3\)
※ 連続する２つの整数では \(x~,~x+1\)
② 問題文の条件より、２次方程式を立てる。
大小２つの自然数の積が \(10\) より、
\(\begin{split}x(x+3)=10\end{split}\)
③ ２次方程式を解く。
\(\begin{eqnarray}~x^2+3x-10&=&0
\\[2pt]~~~(x+5)(x-2)&=&0
\\[2pt]~~~x&=&-5~,~2
\end{eqnarray}\)
④ 解がこの問題に適していることを確認する。
自然数より、\(x=-5\) は適さない
よって、２つの自然数は \(2~,~5\)
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問題解説：２次方程式と整数
問題解説(1)
問題
\({\small (1)}~\)大小２つの正の整数があり、差が \(2\) で積が \(35\) である。このとき、この２つの正の整数を求めよ。
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)大小２つの正の整数があり、差が \(2\) で積が \(35\) である。このとき、この２つの正の整数を求めよ。
小さい方の正の整数を \(x\) とすると、差が \(2\) であることより、大きい方の正の整数は \(x+2\) となる
また、積が \(35\) であることより、
\(\begin{split}~~~x(x+2)=35\end{split}\)
この２次方程式を解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~x(x+2)&=&35\\[2pt]~~~x^2+2x-35&=&0\\[2pt]~~~(x-5)(x+7)&=&0\\[2pt]~~~x&=&5~,~-7\end{eqnarray}\)
\(x\) は正の整数より、\(x=-7\) は適さない
また、\(x=5\) のとき、
小さい方の正の整数 \(6\)、大きい方の正の整数 \(7\)
これは問題に適している
したがって、答えは \(5\) と \(7\) となる
問題解説(2)
問題
\({\small (2)}~\)連続する２つの整数があり、それぞれの２乗の和が \(113\) となる。このとき、この２つの整数を求めよ。
次の問いに答えよ。
\({\small (2)}~\)連続する２つの整数があり、それぞれの２乗の和が \(113\) となる。このとき、この２つの整数を求めよ。
連続する２つの整数を \(x~,~x+1\) とする
それぞれの２乗の和が \(113\) となることより、
\(\begin{split}~~~x^2+(x+1)^2=113\end{split}\)
この２次方程式を解くと、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+(x+1)^2&=&113\\[2pt]~~~x^2+x^2+2x+1-113&=&0\\[2pt]~~~2x^2+2x-112&=&0\\[2pt]~~~x^2+x-56&=&0\\[2pt]~~~(x-7)(x+8)&=&0\\[2pt]~~~x&=&7~,~-8\end{eqnarray}\)
\(x=7\) のとき、
連続する２つの整数 \(7~,~8\)
\(x=-8\) のとき、
連続する２つの整数 \(-8~,~-7\)
これらは問題に適している
したがって、答えは \(7\) と \(8\) または \(-8\) と \(-7\) となる
【問題一覧】中３｜２次方程式
このページは「中学数学３ ２次方程式」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないとき...
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