２乗に比例する関数

Point：２乗に比例する関数

\(y\) は \(x\) の２乗に比例する関数は、

と表されて、\(a\) を「比例定数」という。

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例えば、１辺 \(x~{\rm cm}\) の立方体の表面積を \(y~{\rm cm}^2\) とすると、

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　\(\begin{eqnarray}~y&=&(x{\, \small \times \,}x){\, \small \times \,}6
\\[2pt]~~~y&=&6x^2
\end{eqnarray}\)

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このとき、比例定数は \(6\) となる

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　\(y=6x^2\) について、\(x\) に対応する \(y\) の値は、

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この表より、
　\(x\) が \(2\) 倍、\(3\) 倍、\(4\) 倍、…となると、
　\(y\) が \(4\) 倍、\(9\) 倍、\(16\) 倍、…となる

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よって、\(x\) が \(n\) 倍になると、\(y\) が \(n^2\) 倍となる

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問題

次の問いに答えよ。

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\({\small (1)}~\)次の①〜④のそれぞれで \(y\) を \(x\) の式で表し、\(y\) が \(x\) の２乗に比例するものを答えよ。
　①　１辺 \(x~{\rm cm}\) の立方体の表面積 \(y~{\rm cm}^2\) 。
　②　１辺 \(x~{\rm cm}\) の立方体の体積 \(y~{\rm cm}^3\) 。
　③　半径 \(x~{\rm cm}\) の円の円周の長さ \(y~{\rm cm}\) 。
　④　半径 \(x~{\rm cm}\) の円の面積 \(y~{\rm cm}^2\) 。

①　立方体には１辺 \(x~{\rm cm}\) の正方形が６面あるので、表面積 \(y~{\rm cm}^2\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x {\, \small \times \,} x {\, \small \times \,} 6\\[2pt]~~~y&=&6x^2\end{eqnarray}\)

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したがって、\(y\) が \(x\) の２乗に比例する

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②　１辺 \(x~{\rm cm}\) の立方体の体積 \(y~{\rm cm}^3\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x {\, \small \times \,} x {\, \small \times \,} x\\[2pt]~~~y&=&x^3\end{eqnarray}\)

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したがって、\(y\) が \(x\) の２乗に比例しない

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③　円周の長さは (半径) \({\, \small \times \,}2 {\, \small \times \,} \pi\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x{\, \small \times \,} 2{\, \small \times \,} \pi\\[2pt]~~~y&=&2\pi x\end{eqnarray}\)

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したがって、\(y\) が \(x\) の２乗に比例しない

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④　円の面積は (半径) \({\, \small \times \,}\) (半径) \({\, \small \times \,} \pi\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x{\, \small \times \,} x{\, \small \times \,} \pi\\[2pt]~~~y&=&\pi x^2\end{eqnarray}\)

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したがって、\(y\) が \(x\) の２乗に比例する

問題

次の問いに答えよ。

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\({\small (2)}~\)底辺 \(x~{\rm cm}\)、高さ \(x~{\rm cm}\) の三角形の面積を 半径 \(y~{\rm cm}^2\) とするとき、\(y\) を \(x\) の式で表し、次の表を完成させよ。

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三角形の面積は、(底辺) \({\, \small \times \,}\) (高さ) \({\, \small \div \,} 2\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&x {\, \small \times \,} x {\, \small \div \,} 2\\[3pt]~~~y&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\end{eqnarray}\)

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また、\(x=1\) のとき、

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　\(\begin{split}~~~y=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,} 1^2=\frac{\,1\,}{\,2\,}\end{split}\)

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　\(x=2\) のとき、

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　\(\begin{split}~~~y=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,} 2^2=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}4=2\end{split}\)

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　\(x=3\) のとき、

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　\(\begin{split}~~~y=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,} 3^2=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}9=\frac{\,9\,}{\,2\,}\end{split}\)

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　\(x=4\) のとき、

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　\(\begin{split}~~~y=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,} 4^2=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}16=8\end{split}\)

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　\(x=5\) のとき、

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　\(\begin{split}~~~y=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,} 5^2=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}25=\frac{\,25\,}{\,2\,}\end{split}\)

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　\(x=6\) のとき、

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　\(\begin{split}~~~y=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,} 6^2=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}36=18\end{split}\)

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したがって、\(y\) を \(x\) の式で表すと、

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　\(\begin{split}~~~y=\frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\end{split}\)

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表は、

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となる