相似の証明の解法
三角形の相似の証明方法は、
証明を書き始める前に、見通しをたてる。
・結論を導くために、示すべき相似な２つの三角形を見つける。
・仮定や仮定から導かれる根拠となることがらを考える。
・根拠より、相似条件を考える。
\({\small (1)}~\)３組の辺の比がそれぞれ等しい
\({\small (2)}~\)２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
\({\small (3)}~\)２組の角がそれぞれ等しい
■ 証明のすすめ方
① 着目している三角形がどれとどれかを書く。
② 仮定から根拠となることがらを書く。
③ 仮定から導かられる根拠を書く。
④ 根拠から三角形の相似条件を書く。
⑤ 三角形が相似であることを記号 \(\,\unicode{x223D}\,\) で表す。
⑥ 相似な図形の性質より、結論を導く。
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問題解説：相似の証明
問題解説(1)
次の証明をせよ。
\({\small (1)}~\)\({\rm BC\,//\,DE}\) のとき、\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm ADE}\) の相似を証明せよ。
・ \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm ADE}\) が相似であることを示す
・\({\rm A}\) が共通の角より、\(\angle{\rm BAC}=\angle{\rm DAE}\)
・\({\rm BC\,//\,DE}\) より同位角が等しいから、\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm ADE}\)
・相似条件は、２組の角がそれぞれ等しい
[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm ADE}\) において、
\({\rm A}\) が共通の角より、
\(\angle{\rm BAC}=\angle{\rm DAE}~~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm BC\,//\,DE}\) より同位角が等しいから、
\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm ADE}~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、２組の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm ADE}\)
[終]
問題解説(2)
次の証明をせよ。
\({\small (2)}~\)\(\angle{\rm BAD}=\angle{\rm ACB}\) のとき、\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm DBA}\) の相似を証明せよ。
・ \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm DBA}\) が相似であることを示す
・仮定より、\(\angle{\rm ACB}=\angle{\rm DAC}\)
・\({\rm B}\) が共通の角より、\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm DBA}\)
・相似条件は、２組の角がそれぞれ等しい
[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm DBA}\) において、
仮定 \(\angle{\rm BAD}=\angle{\rm ACB}\) より、
\(\angle{\rm ACB}=\angle{\rm DAB}~~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm B}\) が共通の角より、
\(\angle{\rm ABC}=\angle{\rm DBA}~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、２組の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm DBA}\)
[終]
問題解説(3)
次の証明をせよ。
\({\small (3)}~\)\({\rm AD\,//\,BC}\) を証明せよ。
・\({\rm AD\,//\,BC}\) を示すために、 \(\triangle {\rm AED}\) と \(\triangle {\rm CEB}\) が相似であることを示す
・仮定より、
\({\rm AE:CE=DE:BE=}\) 一定
・対頂角より、\(\angle{\rm AED}=\angle{\rm CEB}\)
・相似条件は、２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
[証明] \(\triangle {\rm AED}\) と \(\triangle {\rm CEB}\) において、
仮定より、
\({\rm AE:CE}=8:12=2:3~~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm DE:BE}=6:9=2:3~~~\cdots{\large ②}\)
対頂角が等しいから、
\(\angle{\rm AED}=\angle{\rm CEB}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから
\(\triangle {\rm AED}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm CEB}\)
相似な図形では、対る角の大きさかわ等しいから、
\(\angle{\rm EAD}=\angle{\rm ECB}\)
錯角が等しいから、
\({\rm AD\,//\,BC}\)
[終]
