今回の問題は「中点連結定理の利用」です。
\(~\)数研出版 これからの数学３ p.153 問4
\(~\)東京書籍 新しい数学３ p.150
\(~\)啓林館 未来へひろがる数学３ p.143 問2
問題
\({\small (1)}~\)次の四角形 \({\rm ABCD}\) について、点 \({\rm E~,~F~,~G~,~H}\) がそれぞれ辺 \({\rm AB~,~BC~,~CD~,~DA}\) の中点であるとき、
\({\small (2)}~\)次の四角形 \({\rm ABCD}\) について、点 \({\rm E~,~F}\) がそれぞれ辺 \({\rm AB~,~CD}\) の中点で、点 \({\rm P~,~Q}\) がそれぞれ対角線 \({\rm BD~,~AC}\) の中点であるとき、
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)次の四角形 \({\rm ABCD}\) について、点 \({\rm E~,~F~,~G~,~H}\) がそれぞれ辺 \({\rm AB~,~BC~,~CD~,~DA}\) の中点であるとき、
① 四角形 \({\rm EFGH}\) が平行四辺形であることを証明せよ。
② \({\rm AC=BD}\) のとき、四角形 \({\rm EFGH}\) はどのような四角形となるか答えよ。
③ 四角形 \({\rm ABCD}\) が長方形のとき、四角形 \({\rm EFGH}\) はどのような四角形となるか答えよ。
④ 四角形 \({\rm ABCD}\) がひし形のとき、四角形 \({\rm EFGH}\) はどのような四角形となるか答えよ。
\({\small (2)}~\)次の四角形 \({\rm ABCD}\) について、点 \({\rm E~,~F}\) がそれぞれ辺 \({\rm AB~,~CD}\) の中点で、点 \({\rm P~,~Q}\) がそれぞれ対角線 \({\rm BD~,~AC}\) の中点であるとき、
① 四角形 \({\rm EPFQ}\) が平行四辺形であることを証明せよ。
② \({\rm AD=BC}\) のとき、四角形 \({\rm EPFQ}\) はどのような四角形となるか答えよ。
Point：中点連結定理の利用
\(\triangle {\rm ABD}\) で、\(\begin{split}{\rm EH\,//\,BD}~,~{\rm EH}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BD}\end{split}\)
\(\triangle {\rm CBD}\) で、\(\begin{split}{\rm FG\,//\,BD}~,~{\rm FG}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BD}\end{split}\)
これより、\(\begin{split}{\rm EH\,//\,FG~,~EH=FG}\end{split}\)
１組の対辺が等しくて平行であるので、
四角形 \({\rm EFGG}\) は平行四辺形である。
四角形 \({\rm ABCD}\) の辺 \({\rm AB~,~BC~,~CD~,~DA}\) の中点がそれぞれ \({\rm E~,~F~,~G~,~H}\) であるとき、
対角線を引くことで、２つの三角形に分けることができ、それぞれの三角形で中点連結定理を利用する。
\(\triangle {\rm ABD}\) で、\(\begin{split}{\rm EH\,//\,BD}~,~{\rm EH}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BD}\end{split}\)
\(\triangle {\rm CBD}\) で、\(\begin{split}{\rm FG\,//\,BD}~,~{\rm FG}=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BD}\end{split}\)
これより、\(\begin{split}{\rm EH\,//\,FG~,~EH=FG}\end{split}\)
１組の対辺が等しくて平行であるので、
四角形 \({\rm EFGG}\) は平行四辺形である。
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