円周角の定理

円周角の定理の解法
問題解説：円周角の定理
- 問題解説(1)
- 問題解説(2)

円周角の定理の解法

Point：円周角の定理

■ 円周角と中心角

弧 ${\rm AB}$ を $\overset{\frown}{{\rm AB}}$ で表し、
$\angle{\rm APB}$を $\overset{\frown}{{\rm AB}}$ に対する円周角、
$\angle{\rm AOB}$を $\overset{\frown}{{\rm AB}}$ に対する中心角という。

■ 円周角の定理

【定理１】１つの弧に対する円周角の大きさは、その弧に対する中心角の大きさの半分である。

$$\angle{\rm APB}=\frac{\,1\,}{\,2\,}\angle{\rm AOB}$$

【定理２】同じ弧に対する円周角の大きさは等しい。

$$\angle{\rm APB}=\angle{\rm AP’B}$$

■ 半円の弧と円周角

半円の弧に対する円周角は直角となる。
${\rm AB}$ が直径のとき、中心角が $180^\circ$ となるので、
　$\angle{\rm APB}=90^\circ$

問題解説：円周角の定理

問題解説(1)

問題

次の問いに答えよ。
${\small (1)}~$次の角の大きさを求めよ。

定理１より、$\overset{\frown}{{\rm AB}}$ に対する円周角は、中心角の半分であるので、
　$x={\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}\times120^\circ=60^\circ$
したがって、$x=60^\circ$

$\overset{\frown}{{\rm AB}}$ に対する中心角 $x$ は、円周角 $110^\circ$ の２倍となるので、
　$x=110^\circ\times2=220^\circ$
したがって、$x=220^\circ$

$\overset{\frown}{{\rm AB}}$ に対する中心角 $x$ は、円周角 $40^\circ$ の２倍となるので、
　$x=40^\circ\times2=80^\circ$
したがって、$x=80^\circ$

$\overset{\frown}{{\rm BC}}$ に対する円周角の $\angle{\rm BAC}~,~\angle{\rm BDC}$ は等しいので、
　$x=40^\circ$
$\overset{\frown}{{\rm AD}}$ に対する円周角の $\angle{\rm ABD}~,~\angle{\rm ACD}$ は等しいので、
　$y=35^\circ$
したがって、$x=40^\circ~,~y=35^\circ$

$\overset{\frown}{{\rm AB}}$ に対する中心角 $x$ は、円周角 $35^\circ$ の２倍となるので、
　$x=35^\circ\times2=70^\circ$
また、$\triangle {\rm OAB}$ は円の半径が等しいので、${\rm OA=OB}$ の二等辺三角形となる
よって、底角が等しいので、
　$\angle{\rm OAB}=\angle{\rm OBA}=y$
三角形の内角の和が $180^\circ$ より、$$\begin{eqnarray}~~~70^\circ+y+y&=&180^\circ\\[2pt]~~~2y&=&110^\circ\\[2pt]~~~y&=&55^\circ\end{eqnarray}$$したがって、$x=70^\circ~,~y=55^\circ$

線分 ${\rm OB}$ を引くと、
$\overset{\frown}{{\rm AB}}$ に対する円周角の定理より、
　$\angle{\rm AOB}=20^\circ\times2=40^\circ$
$\overset{\frown}{{\rm BC}}$ に対する円周角の定理より、
　$\angle{\rm BOC}=30^\circ\times2=60^\circ$
ここで、$x=\angle{\rm AOC}=\angle{\rm AOB}+\angle{\rm BOC}$ より、
　$x=40^\circ+60^\circ=100^\circ$
したがって、$x=100^\circ$

問題解説(2)

問題

次の問いに答えよ。
${\small (2)}~$次の角の大きさを求めよ。

線分 ${\rm AB}$ が直径より、$\overset{\frown}{{\rm AB}}$ に対する円周角は直角であるので、
　$x=90^\circ$
また、三角形の内角の和が $180^\circ$ より、$$\begin{eqnarray}~~~90^\circ+30^\circ+y&=&180^\circ\\[2pt]~~~y&=&60^\circ\end{eqnarray}$$したがって、$x=90^\circ~,~y=60^\circ$

$\overset{\frown}{{\rm PB}}$ に対する円周角の定理より、
　$x=40^\circ$
線分 ${\rm AB}$ が直径より、$\overset{\frown}{{\rm AB}}$ に対する円周角は直角であるので、、
　$\angle {\rm APB}=90^\circ$
$\triangle {\rm APB}$ の内角の和が $180^\circ$ より、$$\begin{eqnarray}~~~90^\circ+40^\circ+y&=&180^\circ\\[2pt]~~~y&=&50^\circ\end{eqnarray}$$したがって、$x=40^\circ~,~y=50^\circ$