円の接線の長さと作図

Point：円の接線の長さ

■ 円の接線

　→ \(\angle{\rm OAP}=90^\circ\)

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　→ \({\rm PA=PB}\)

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Point：円の接線の作図

円 \({\rm O}\) に外部の点 \({\rm P}\) から引いた２本の接線の作図の方法は、

① 線分 \({\rm PO}\) の垂直二等分線をひき、線分 \({\rm PO}\) との交点を \({\rm M}\) とする。
② 点 \({\rm M}\) を中心に半径 \({\rm MP(MO)}\) の円をかき、円 \({\rm O}\) との交点を \({\rm A~,~B}\) とする。
③ 直線 \({\rm PA~,~PB}\) が、点 \({\rm P}\) から円 \({\rm O}\) にひいた接線となる。

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問題

次の問いに答えよ。

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\({\small (1)}~\)円 \({\rm O}\) に外部の点 \({\rm P}\) からひいた２本の接線との接点を \({\rm A~,~B}\) とするとき、\({\rm PA=PB}\) となることを証明せよ。

[証明] \(\triangle {\rm POA}\) と \(\triangle {\rm POB}\) について、
円の接線は接点を通る半径に垂直より、
　\(\angle{\rm OAP}=\angle{\rm OBP}=90^\circ~~~\cdots{\large ①}\)
円の半径より、
　\({\rm OA=OB}~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
　\({\rm PO=PO}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので、
　\(\triangle {\rm POA}\equiv\triangle {\rm POB}\)
合同な図形では、対応する辺は等しいので、
　\({\rm PA=PB}\)
[終]

問題

次の問いに答えよ。

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\({\small (2)}~\)次の図の点 \({\rm P}\) を通る円 \({\rm O}\) の接線を作図せよ。

① 線分 \({\rm PO}\) の垂直二等分線をひき、線分 \({\rm PO}\) との交点を \({\rm M}\) とする。

② 点 \({\rm M}\) を中心に半径 \({\rm MP(MO)}\) の円をかき、円 \({\rm O}\) との交点を \({\rm A~,~B}\) とする。

③ 直線 \({\rm PA~,~PB}\) が、点 \({\rm P}\) から円 \({\rm O}\) にひいた接線となる。

問題

次の問いに答えよ。

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\({\small (3)}~\)次の図で、\(x\) の長さのと \(y\) の大きさを求めよ。

円の外部の点からひいた２本の接線の長さは等しいので、

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\(~~~x=3~{\rm cm}\)

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また、\(\triangle {\rm PAB}\) は \({\rm PA=PB}\) の二等辺三角形となり、底角が等しいので、
　\(\angle{\rm PAB}=\angle{\rm PBA}\)
また、三角形の内角の和が \(180^\circ\) より、

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\(~~~\angle {\rm PBA}=\frac{\,180^\circ-40^\circ\,}{\,2\,}=\frac{\,140^\circ\,}{\,2\,}=70^\circ\)

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また、円の接線は、接点を通る半径に垂直であるので、
　\(\angle{\rm OPB}=90^\circ\)
よって、

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\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\angle{\rm OPB}-\angle{\rm PBA}\\[2pt]~~~&=&90^\circ-70^\circ=20^\circ\end{eqnarray}\)

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したがって、答えは \(x=3~{\rm cm}~,~y=20^\circ\) となる