等式の性質の解法
Point：等式の性質
[ 1 ] 両辺に同じ数をたしても、等式は成り立つ
\({\rm A=B}\) ならば \({\rm A+C=B+C}\)
[ 2 ] 両辺から同じ数をひいても、等式は成り立つ
\({\rm A=B}\) ならば \({\rm A-C=B-C}\)
[ 3 ] 両辺に同じ数をかけても、等式は成り立つ
\({\rm A=B}\) ならば \({\rm AC=BC}\)
[ 4 ] 両辺を同じ数をわっても、等式は成り立つ
\({\rm A=B}\) ならば \(\begin{split}{\rm {\frac{\,A\,}{\,C\,}}={\frac{\,B\,}{\,C\,}}}\end{split}\)
ただし、\({\rm C}\neq 0\)
また、等式 \({\rm A=B}\) について、
両辺を入れかえても、等式は成り立つ
\({\rm A=B}\) ならば \({\rm B=A}\)
等式 \({\rm A=B}\) について、
[ 1 ] 両辺に同じ数をたしても、等式は成り立つ
\({\rm A=B}\) ならば \({\rm A+C=B+C}\)
[ 2 ] 両辺から同じ数をひいても、等式は成り立つ
\({\rm A=B}\) ならば \({\rm A-C=B-C}\)
[ 3 ] 両辺に同じ数をかけても、等式は成り立つ
\({\rm A=B}\) ならば \({\rm AC=BC}\)
[ 4 ] 両辺を同じ数をわっても、等式は成り立つ
\({\rm A=B}\) ならば \(\begin{split}{\rm {\frac{\,A\,}{\,C\,}}={\frac{\,B\,}{\,C\,}}}\end{split}\)
ただし、\({\rm C}\neq 0\)
また、等式 \({\rm A=B}\) について、
両辺を入れかえても、等式は成り立つ
\({\rm A=B}\) ならば \({\rm B=A}\)
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Point：等式の性質で方程式を解く
たとえば、方程式 \(\begin{split}-3=2x+1\end{split}\) では、
両辺を入れかえると、
\(\begin{split}\hspace{35pt}2x+1=-3\end{split}\)
両辺から \(1\) をひくと、
\(\begin{eqnarray}\hspace{10pt}~~~2x+1-1&=&-3-1
\\[2pt]~~~2x+0&=&-4
\\[2pt]~~~2x&=&-4
\end{eqnarray}\)
両辺を \(2\) でわると、
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}~~~\frac{\,2x\,}{\,2\,}&=&\frac{\,-4\,}{\,2\,}\\[3pt]\hspace{27pt}~~~\frac{\,\cancel{2}^{1} x\,}{\,\cancel{2}^{1}\,}&=&-\frac{\,\cancel{4}^{2}\,}{\,\cancel{2}^{1}\,}\\[3pt]~~~x&=&-2\end{eqnarray}\)
これより、解は \(x=-2\) となる。
方程式を解くとき、等式の性質を使って \(x=\)◯ の形に式変形する。
たとえば、方程式 \(\begin{split}-3=2x+1\end{split}\) では、
両辺を入れかえると、
\(\begin{split}\hspace{35pt}2x+1=-3\end{split}\)
両辺から \(1\) をひくと、
\(\begin{eqnarray}\hspace{10pt}~~~2x+1-1&=&-3-1
\\[2pt]~~~2x+0&=&-4
\\[2pt]~~~2x&=&-4
\end{eqnarray}\)
両辺を \(2\) でわると、
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}~~~\frac{\,2x\,}{\,2\,}&=&\frac{\,-4\,}{\,2\,}\\[3pt]\hspace{27pt}~~~\frac{\,\cancel{2}^{1} x\,}{\,\cancel{2}^{1}\,}&=&-\frac{\,\cancel{4}^{2}\,}{\,\cancel{2}^{1}\,}\\[3pt]~~~x&=&-2\end{eqnarray}\)
これより、解は \(x=-2\) となる。
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問題解説：等式の性質
問題解説(1)
問題
\(\begin{split}{\small (1)}~~x-2=1\end{split}\)
次の方程式を解け。
\(\begin{split}{\small (1)}~~x-2=1\end{split}\)
両辺に \(2\) を加えると、
(※ 左辺の \(-2\) を \(0\) にするため。)
\(\begin{eqnarray}~~~x-2&=&1\\[2pt]~~~x-2+2&=&1+2\\[2pt]~~~x+0&=&3\\[2pt]~~~x&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(x=3\) となる
(※ 左辺の \(-2\) を \(0\) にするため。)
\(\begin{eqnarray}~~~x-2&=&1\\[2pt]~~~x-2+2&=&1+2\\[2pt]~~~x+0&=&3\\[2pt]~~~x&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(x=3\) となる
問題解説(2)
問題
\(\begin{split}{\small (2)}~~x+5=2\end{split}\)
次の方程式を解け。
\(\begin{split}{\small (2)}~~x+5=2\end{split}\)
両辺から \(5\) をひくと、
(※ 左辺の \(+5\) を \(0\) にするため。)
\(\begin{eqnarray}~~~x+5&=&2\\[2pt]~~~x+5-5&=&2-5\\[2pt]~~~x+0&=&-3\\[2pt]~~~x&=&-3\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(x=-3\) となる
(※ 左辺の \(+5\) を \(0\) にするため。)
\(\begin{eqnarray}~~~x+5&=&2\\[2pt]~~~x+5-5&=&2-5\\[2pt]~~~x+0&=&-3\\[2pt]~~~x&=&-3\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(x=-3\) となる
問題解説(3)
問題
\(\begin{split}{\small (3)}~~\frac{\,x\,}{\,3\,}=-7\end{split}\)
次の方程式を解け。
\(\begin{split}{\small (3)}~~\frac{\,x\,}{\,3\,}=-7\end{split}\)
両辺に \(3\) をかけると、
(※ 左辺を \(x\) だけにするため。)
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}~~~\frac{\,x\,}{\,3\,}&=&-7\\[3pt]~~~\frac{\,x\,}{\,3\,}\times3&=&-7\times3\\[3pt]~~~\frac{\,x\,}{\,\cancel{3}^{1}\,}\times\cancel{3}^{1}&=&-21\\[3pt]~~~x&=&-21\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(x=-21\) となる
(※ 左辺を \(x\) だけにするため。)
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}~~~\frac{\,x\,}{\,3\,}&=&-7\\[3pt]~~~\frac{\,x\,}{\,3\,}\times3&=&-7\times3\\[3pt]~~~\frac{\,x\,}{\,\cancel{3}^{1}\,}\times\cancel{3}^{1}&=&-21\\[3pt]~~~x&=&-21\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(x=-21\) となる
問題解説(4)
問題
\(\begin{split}{\small (4)}~~5x=15\end{split}\)
次の方程式を解け。
\(\begin{split}{\small (4)}~~5x=15\end{split}\)
両辺を \(5\) でわると、
(※ 左辺を \(x\) だけにするため。)
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}~~~5x&=&15\\[3pt]~~~\frac{\,5x\,}{\,5\,}&=&\frac{\,15\,}{\,5\,}\\[3pt]~~~\frac{\,\cancel{5}^{1} x\,}{\,\cancel{5}^{1}\,}&=&\frac{\,\cancel{15}^{3}\,}{\,\cancel{5}^{1}\,}\\[3pt]~~~x&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(x=3\) となる
(※ 左辺を \(x\) だけにするため。)
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}~~~5x&=&15\\[3pt]~~~\frac{\,5x\,}{\,5\,}&=&\frac{\,15\,}{\,5\,}\\[3pt]~~~\frac{\,\cancel{5}^{1} x\,}{\,\cancel{5}^{1}\,}&=&\frac{\,\cancel{15}^{3}\,}{\,\cancel{5}^{1}\,}\\[3pt]~~~x&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(x=3\) となる
問題解説(5)
問題
\(\begin{split}{\small (5)}~~\frac{\,2\,}{\,3\,}x=-4\end{split}\)
次の方程式を解け。
\(\begin{split}{\small (5)}~~\frac{\,2\,}{\,3\,}x=-4\end{split}\)
両辺に \(\begin{split}{\frac{\,3\,}{\,2\,}}\end{split}\) をかけると、
(※ \(x\) の係数 \(\begin{split}{\frac{\,2\,}{\,3\,}}\end{split}\) の逆数をかける)
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}~~\frac{\,2\,}{\,3\,}x&=&-4\\[3pt]~~~\frac{\,2\,}{\,3\,}x\times\frac{\,3\,}{\,2\,}&=&-4\times\frac{\,3\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~\frac{\,\cancel{2}^{1}\,}{\,\cancel{3}^{1}\,}x\times\frac{\,\cancel{3}^{1}\,}{\,\cancel{2}^{1}\,}&=&-\cancel{4}^{2}\times\frac{\,3\,}{\,\cancel{2}^{1}\,}\\[3pt]~~~x&=&-2\times3\\[2pt]~~~x&=&-6\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(x=-6\) となる
(※ \(x\) の係数 \(\begin{split}{\frac{\,2\,}{\,3\,}}\end{split}\) の逆数をかける)
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}~~\frac{\,2\,}{\,3\,}x&=&-4\\[3pt]~~~\frac{\,2\,}{\,3\,}x\times\frac{\,3\,}{\,2\,}&=&-4\times\frac{\,3\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~\frac{\,\cancel{2}^{1}\,}{\,\cancel{3}^{1}\,}x\times\frac{\,\cancel{3}^{1}\,}{\,\cancel{2}^{1}\,}&=&-\cancel{4}^{2}\times\frac{\,3\,}{\,\cancel{2}^{1}\,}\\[3pt]~~~x&=&-2\times3\\[2pt]~~~x&=&-6\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(x=-6\) となる
問題解説(6)
問題
\(\begin{split}{\small (6)}~~6=0.2x\end{split}\)
次の方程式を解け。
\(\begin{split}{\small (6)}~~6=0.2x\end{split}\)
両辺をいれかえると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{38pt}~~~6&=&0.2x\\[2pt]~~~0.2x&=&6\end{eqnarray}\)
両辺に \(10\) をかけると、
(※ 小数をふくまない式にする。)
\(\begin{eqnarray}~~~0.2x\times10&=&6\times10\\[2pt]~~~2x&=&60\end{eqnarray}\)
両辺を \(2\) でわると、
(※ 左辺を \(x\) だけにするため。)
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}\hspace{22pt}~~~\frac{\,2x\,}{\,2\,}&=&\frac{\,60\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~\frac{\,\cancel{2}^{1}x\,}{\,\cancel{2}^{1}\,}&=&\frac{\,\cancel{60}^{30}\,}{\,\cancel{2}^{1}\,}\\[3pt]~~~x&=&30\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(x=30\) となる
\(\begin{eqnarray}\hspace{38pt}~~~6&=&0.2x\\[2pt]~~~0.2x&=&6\end{eqnarray}\)
両辺に \(10\) をかけると、
(※ 小数をふくまない式にする。)
\(\begin{eqnarray}~~~0.2x\times10&=&6\times10\\[2pt]~~~2x&=&60\end{eqnarray}\)
両辺を \(2\) でわると、
(※ 左辺を \(x\) だけにするため。)
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}\hspace{22pt}~~~\frac{\,2x\,}{\,2\,}&=&\frac{\,60\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~\frac{\,\cancel{2}^{1}x\,}{\,\cancel{2}^{1}\,}&=&\frac{\,\cancel{60}^{30}\,}{\,\cancel{2}^{1}\,}\\[3pt]~~~x&=&30\end{eqnarray}\)
したがって、答えは \(x=30\) となる
【問題一覧】中１｜１次方程式
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