１次方程式と代金

Point：１次方程式と代金

代金についての文章問題は、

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① 求める値を \(x\) とおく。
　◯◯の個数や値段などを \(x\) とおく。

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② \(x\) とおいた数を使って、問題文より等しい数をイコールでむすんだ１次方程式を立てる。

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　合計代金では、
　　(値段 × 個数)の和 ＝ 合計代金

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　Ａさんの残金は、Ｂさんの残金の２倍では、
　　(Ａさんの残金) ＝ (Ｂさんの残金)×２

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③ 立てた１次方程式を解く。

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④ 解が問題に適しているか確かめる。

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問題

次の問いに答えよ。

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\({\small (1)}~\)\(1\) 個 \(120\) 円のりんごと \(1\) 個 \(70\) 円のみかんを合わせて \(10\) 個買った。このときの代金の合計が \(1000\) 円であったとき、りんごとみかんはそれぞれ何個買ったか。

買ったりんごの個数を \(x\) 個とすると、
みかんの個数は合わせて \(10\) 個買ったことより、
　　(りんごの個数)＋(みかんの個数)＝ \(10\)　
　　\(~\Leftrightarrow~\)(みかんの個数)＝ \(10\) − (りんごの個数)
これより、\(10-x\) 個

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\(1\) 個 \(120\) 円のりんご \(x\) 個より、\(120x\) 円
\(1\) 個 \(70\) 円のみかん \(10-x\) 個より、\(70(10-x)\) 円
　と
代金の合計 \(1000\) 円
が等しくなることより、１次方程式を立てると、

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\(\begin{eqnarray}~~~120x+70(10-x)&=&1000\\[2pt]~~~120x+700-70x&=&1000\end{eqnarray}\)

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\(-70\) を移項すると、符号がかわるので、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{30pt}~~~120x-70x&=&1000-700\\[2pt]~~~(120-70)x&=&300\\[2pt]~~~50x&=&300\end{eqnarray}\)

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両辺を \(x\) の \(50\) でわると、

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\(\require{cancel} \begin{eqnarray}\hspace{55pt}~~~\frac{\,50x\,}{\,50\,}&=&\frac{\,300\,}{\,50\,}\\[3pt]~~~\frac{\,\cancel{50}^{1}x\,}{\,\cancel{50}^{1}\,}&=&\frac{\,\cancel{300}^{6}\,}{\,\cancel{50}^{1}\,}\\[3pt]~~~x&=&6\end{eqnarray}\)

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また、みかんの個数は \(10-x\) より、

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\(\begin{split}~~~10-6=4\end{split}\)

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これは問題に適している

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したがって、
　りんご \(6\) 個、みかん \(4\) 個
となる

問題

次の問いに答えよ。

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\({\small (2)}~\)Ａさんは \(1600\) 円、Ｂさんは \(700\) 円持っていた。２人が同じケーキ \(1\) 個を買ったところ、Ａさんの残金はＢさんの残金の \(3\) 倍となった。このとき、ケーキ \(1\) 個の値段はいくらか。

ケーキの値段を \(x\) 円とすると、
Ａさんの残金は、
　\(1600-x\) 円
Ｂさんの残金は、
　\(700-x\) 円

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(Ａさんの残金)＝(Ｂさんの残金)\({\, \small \times \,} 3\) であるので、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{8pt}~~~1600-x&=&(700-x){\, \small \times \,}3\\[2pt]~~~1600-x&=&700{\, \small \times \,}3-x{\, \small \times \,}3\\[2pt]~~~1600-x&=&2100-3x\end{eqnarray}\)

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\(1600\) と \(-3x\) を移項すると、符号がかわるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~-x+3x&=&2100-1600\\[2pt]~~~(-1+3)x&=&500\\[2pt]~~~2x&=&500\end{eqnarray}\)

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両辺を \(x\) の \(2\) でわると、

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\(\require{cancel} \begin{eqnarray}\hspace{22pt}~~~\frac{\,2x\,}{\,2\,}&=&\frac{\,500\,}{\,2\,}\\[3pt]\hspace{17pt}~~~\frac{\,\cancel{2}^{1}x\,}{\,\cancel{2}^{1}\,}&=&\frac{\,\cancel{500}^{250}\,}{\,\cancel{2}^{1}\,}\\[3pt]~~~x&=&250\end{eqnarray}\)

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これは問題に適している

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したがって、
　ケーキの値段は \(250\) 円
となる