１次方程式と過不足

１次方程式と過不足の解法
問題解説：１次方程式と過不足
1. 問題解説(1)
2. 問題解説(2)

１次方程式と過不足の解法

Point：１次方程式と過不足

過不足のある文章問題は、

① 求める値を \(x\) とおく。

② 過不足を図で表し、図より１次方程式を立てる。

　たとえば、みかんを子どもに分けるとき、
　　\(1\) 人 \(2\) 個ずつ分けると \(3\) 個余り
　　\(1\) 人 \(3\) 個ずつ分けると \(2\) 個たりない

　子どもの人数を \(x\) 人とすると、

　これより、みかんの個数で等式を立てると、

　\(~~~2x+3=3x-2\)

③ 立てた１次方程式を解く。

④ 解が問題に適しているか確かめる。

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問題解説：１次方程式と過不足

問題解説(1)

問題

何人かの子どもにアメを同じ数だけ配る。
　\(1\) 人 \(5\) 個ずつ配ると \(14\) 個余り
　\(1\) 人 \(7\) 個ずつ配ると \(6\) 個たりない
このとき、子どもの人数とアメの個数を求めよ。

\({\small (1)}~\)子どもの人数を \(x\) 人として求める。

子どもの人数を \(x\) 人とすると、
　\(5\) 個ずつ配ると \(5x\) 個必要で、\(14\) 個余る
　\(7\) 個ずつ配ると \(7x\) 個必要で、\(6\) 個たりない
これより、

アメの個数は、
　\(5\) 個ずつ配るとき、\(5x+14\)
　\(7\) 個ずつ配るとき、\(7x-6\)
となるので、１次方程式を立てると、

\(\begin{split}\hspace{3pt}~~~5x+14=7x-6\end{split}\)

\(14\) と \(7x\) をそれぞれ移項すると、符号がかわるので、

\(\begin{eqnarray}\hspace{3pt}~~~5x-7x&=&-6-14\\[2pt]~~~(5-7)x&=&-20\\[2pt]~~~-2x&=&-20\end{eqnarray}\)

両辺を \(x\) の係数 \(-2\) でわると、

\(\require{cancel} \begin{eqnarray}~~~\frac{\,-2x\,}{\,-2\,}&=&\frac{\,-20\,}{\,-2\,}\\[2pt]~~~\frac{\,\cancel{-2}^{1}x\,}{\,\cancel{-2}^{1}\,}&=&\frac{\,\cancel{-20}^{10}\,}{\,\cancel{-2}^{1}\,}\\[2pt]~~~x&=&10\end{eqnarray}\)

アメの個数は \(5x+14\) 個より、\(x=10\) を代入すると、※ \(7x-6\) に代入してもよい。

\(~~~5{\, \small \times \,}10+14=50+14=64\)

これは問題に適している
したがって、
　子ども \(10\) 人、アメ \(64\) 個
となる

問題解説(2)

問題

\({\small (2)}~\)アメの個数を \(x\) 個として求める。

アメの個数を \(x\) 個とすると、
　(子どもの人数)
　　　　＝(配ったアメの数) ÷ (\(1\) 人に配る個数)

\(1\) 人 \(5\) 個ずつ配ると \(14\) 個余るので、配ったアメの個数は \(x-14\) 個
よって、子どもの人数は、

\(\begin{split}~~~(x-14){\, \small \div \,}5=\frac{\,x-14\,}{\,5\,}\end{split}\)

\(1\) 人 \(7\) 個ずつ配ると \(6\) 個たりないので、配るために必要なアメの個数は \(x+6\) 個
よって、子どもの人数は、

\(\begin{split}~~~(x+6){\, \small \div \,}7=\frac{\,x+6\,}{\,7\,}\end{split}\)

これより、１次方程式を立てると、

\(\begin{split}\hspace{29pt}~~~\frac{\,x-14\,}{\,5\,}=\frac{\,x+6\,}{\,7\,}\end{split}\)

両辺を \(5\) と \(7\) の最小公倍数 \(35\) をかけると、

\(\require{cancel} \begin{eqnarray}~~~\frac{\,x-14\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}35&=&\frac{\,x+6\,}{\,7\,}{\, \small \times \,}35\\[3pt]~~~\frac{\,x-14\,}{\,\cancel{5}^{1}\,}{\, \small \times \,}\cancel{35}^{7}&=&\frac{\,x+6\,}{\,\cancel{7}^{1}\,}{\, \small \times \,}\cancel{35}^{5}\\[3pt]~~~(x-14){\, \small \times \,}7&=&(x+6){\, \small \times \,}5\\[2pt]~~~x{\, \small \times \,}7 -14{\, \small \times \,}7&=&x{\, \small \times \,}5+6{\, \small \times \,}5\\[2pt]~~~7x-98&=&5x+30\end{eqnarray}\)

\(-98\) と \(5x\) をそれぞれ移項すると、符号がかわるので、

\(\begin{eqnarray}\hspace{29pt}~~~7x-5x&=&30+98\\[2pt]~~~(7-5)x&=&128\\[2pt]~~~2x&=&128\end{eqnarray}\)

両辺を \(x\) の係数 \(2\) でわると、

\(\require{cancel} \begin{eqnarray}~~~\frac{\,2x\,}{\,2\,}&=&\frac{\,128\,}{\,2\,}\\[2pt]\hspace{33pt}~~~\frac{\,\cancel{2}^{1}x\,}{\,\cancel{2}^{1}\,}&=&\frac{\,\cancel{128}^{64}\,}{\,\cancel{2}^{1}\,}\\[2pt]~~~x&=&64\end{eqnarray}\)

子どもの人数は \(\begin{split}{\frac{\,x-14\,}{\,5\,}}\end{split}\) 人より、\(x=64\) を代入すると、

※ \(\begin{split}{\frac{\,x+6\,}{\,7\,}}\end{split}\) に代入してもよい。

\(\begin{split}~~~\frac{\,64-14\,}{\,5\,}=\frac{\,10\,}{\,5\,}=10\end{split}\)

これは問題に適している
したがって、
　子ども \(10\) 人、アメ \(64\) 個
となる