２つの平面の位置関係

Point：２つの平面の位置関係

空間内の２つの平面の位置関係は、

① ２つの平面が平行である
　※ 平面 \(\rm P~,~Q\) は交わらない。

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② ２つの平面が交わる
　※ 交わる直線 \(l\) を「交線」という。

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また、交線上の点から、それぞれの平面上にひいた２つの垂線がつくる角を、平面 \(\rm P~,~Q\) の「なす角」という。

このなす角が \(90^\circ\) (直角)のとき、平面 \(\rm P~,~Q\) は垂直であるといい、\(\rm P\perp Q\) と表す。

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問題

次の問いに答えよ。

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\({\small (1)}~\)次の立方体について、以下の平面を答えよ。

　①　平面 \({\rm AEFB}\) と平行な平面
　②　平面 \({\rm AEFB}\) と垂直な平面

①　平面 \({\rm AEFB}\) について、

平面 \({\rm AEFB}\) と交わらない平面で平行であるのは、
平面 \({\rm DHGC}\) となる

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②　平面 \({\rm AEFB}\) について、

平面 \({\rm AEFB}\) と垂直であるのは、
　辺 \({\rm AB}\) を交線として、平面 \({\rm ABCD}\)
　辺 \({\rm AE}\) を交線として、平面 \({\rm AEHD}\)
　辺 \({\rm EF}\) を交線として、平面 \({\rm EFGH}\)
　辺 \({\rm BF}\) を交線として、平面 \({\rm BFGC}\)
よって、
平面 \({\rm ABCD~,~AEHD~,~EFGH~,~BFGC}\) となる

問題

次の問いに答えよ。

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\({\small (2)}~\)次の立方体を半分にした立体について、以下の平面を答えよ。

　①　平面 \({\rm ABC}\) と平行な平面
　②　平面 \({\rm ABC}\) と垂直な平面
　③　平面 \({\rm ADEB}\) と垂直な平面

①　平面 \({\rm ABC}\) について、

平面 \({\rm ABC}\) と交わらない平面で平行であるのは、
平面 \({\rm DEF}\) となる

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②　平面 \({\rm ABC}\) について、

平面 \({\rm ABC}\) と垂直であるのは、
　辺 \({\rm AB}\) を交線として、平面 \({\rm ADEB}\)
　辺 \({\rm BC}\) を交線として、平面 \({\rm BEFC}\)
　辺 \({\rm AC}\) を交線として、平面 \({\rm ADFC}\)
よって、
平面 \({\rm ADEB~,~BEFC~,~ADFC}\) となる

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③　平面 \({\rm ADEB}\) について、

平面 \({\rm ADEB}\) と垂直であるのは、
　辺 \({\rm AB}\) を交線として、平面 \({\rm ABC}\)
　辺 \({\rm AD}\) を交線として、平面 \({\rm ADFC}\)
　辺 \({\rm DE}\) を交線として、平面 \({\rm DEF}\)
辺 \({\rm BE}\) を交線として、平面 \({\rm BEFC}\) も交わるが、なす角が \(90^\circ\) (直角)でない
よって、
平面 \({\rm ABC~,~ADFC~,~DEF}\) となる