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多項式の項と次数

多項式の項と次数の解法

Point:単項式と多項式

数か文字の掛け算だけの式「単項式」という。


  \(a~~,~~3x^2~~,~~-5ab~~,~~10\)


単項式の和だけの式「多項式」という。


  \(a-3~~,~~3a^2-7b~~,~~6x^2-x+1\)


1つ1つの単項式「多項式の項」といい、
特に数だけの項「定数項」という。


たとえば、\(6x^2-x+1\) では、
 項は、\(6x^2~~,~~-x~~,~~1\)
 定数項は、\(1\) となる


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Point:単項式・多項式の次数

■ 単項式の次数
単項式では、
 掛け算されている文字の個数が次数となる


たとえば、\(5xy^2\) の次数は、


 \(5xy^2=5{\, \small \times \,} x {\, \small \times \,} y {\, \small \times \,} y\)


これより、文字が3個掛け算されているので次数は \(3\) となる。


■ 多項式の次数
多項式のそれぞれの項の次数を求めて、
 もっとも大きい数が多項式の次数となる


たとえば、多項式 \(6x^2-x+1\) では、


  \(6x^2=6{\, \small \times \,} x {\, \small \times \,} x\) で次数 \(2\)
  \(-x=-1 {\, \small \times \,} x\) で次数 \(1\)
  \(1\) は定数項


これより、この多項式の次数は \(2\) となる。


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問題解説:多項式の項と次数

問題解説(1)

問題

次の問いに答えよ。


\({\small (1)}~\)次の多項式の項を答えよ。
 ① \(3a-7b\)
 ② \(2x^2-5x+3\)

① \(3a-7b\)
単項式の和で表すと、


\(\begin{split}&3a-7b\\[2pt]~~=~&3a+(-7b)\end{split}\)


1つ1つの単項式が項となるので、


 答えは \(3a~,~-7b\) となる




② \(2x^2-5x+3\)
単項式の和で表すと、


\(\begin{split}&2x^2-5x+3\\[2pt]~~=~&2x^2+(-5x)+3\end{split}\)


1つ1つの単項式が項となるので、


 答えは \(2x^2~,~-5x~,~3\) となる

 

問題解説(2)

問題

次の問いに答えよ。


\({\small (2)}~\)次の単項式の次数を求めよ。
 ① \(3a^2\)  ② \(-4x^2y\)  ③ \(5x^2yz^3\)

① \(3a^2\)
文字式の掛け算で表すと、


  \(3a^2=3{\, \small \times \,} a {\, \small \times \,} a\)


掛け算されている文字は2個より、


 答えは、次数 \(2\) となる




② \(-4x^2y\)
文字式の掛け算で表すと、


  \(-4x^2y=-4{\, \small \times \,} x {\, \small \times \,} x {\, \small \times \,} y\)


掛け算されている文字は3個より、


 答えは、次数 \(3\) となる




③ \(5x^2yz^3\)
文字式の掛け算で表すと、


\(\begin{split}&5x^2yz^3\\[2pt]~~=~&5{\, \small \times \,} x {\, \small \times \,} x {\, \small \times \,} y {\, \small \times \,} z{\, \small \times \,} z{\, \small \times \,} z\end{split}\)


掛け算されている文字は6個より、


 答えは、次数 \(6\) となる

 



問題解説(3)

問題

次の問いに答えよ。


\({\small (3)}~\)次の多項式の次数を答えよ。また、何次式か答えよ。
 ① \(2a+9b-5\)
 ② \(x^2-6x+5\)
 ③ \(3x^2y-10xy^3\)

① \(2a+9b-5\)
それぞれの項の次数は、


  \(2a=2{\, \small \times \,} a\) で次数 \(1\)
  \(9b=9{\, \small \times \,} b\) で次数 \(1\)
  \(-5\) は定数項


もっとも大きい数が多項式の次数となるので、


 答えは、次数 \(1\) で \(1\) 次式となる




② \(x^2-6x+5\)
それぞれの項の次数は、


  \(x^2=x{\, \small \times \,} x\) で次数 \(2\)
  \(-6x=-6{\, \small \times \,} x\) で次数 \(1\)
  \(5\) は定数項


もっとも大きい数が多項式の次数となるので、


 答えは、次数 \(2\) で \(2\) 次式となる




③ \(3x^2y-10xy^3\)
それぞれの項の次数は、


  \(3x^2y=3{\, \small \times \,} x {\, \small \times \,} x {\, \small \times \,} y\) で次数 \(3\)
  \(-10xy^3=-10{\, \small \times \,} x{\, \small \times \,} y{\, \small \times \,} y{\, \small \times \,} y\) で次数 \(4\)


もっとも大きい数が多項式の次数となるので、


 答えは、次数 \(4\) で \(4\) 次式となる

 

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