分数をふくむ多項式の計算

問題

次の計算をせよ。

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\(\begin{split}&{\small (1)}~\frac{\,x+y\,}{\,2\,}+\frac{\,3x-2y\,}{\,4\,}\end{split}\)

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\(\begin{split}&{\small (2)}~\frac{\,2a-b\,}{\,3\,}-\frac{\,a-5b\,}{\,2\,}\end{split}\)

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\(\begin{split}&{\small (3)}~\frac{\,3a+2b\,}{\,10\,}-\frac{\,7a-3b\,}{\,15\,}\end{split}\)

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\(\begin{split}&{\small (4)}~x+2y-\frac{\,x-2y\,}{\,5\,}\end{split}\)

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Point：分数をふくむ多項式の計算

分数をふくむ多項式の計算は、

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① 分子の多項式に (　) を付けて通分し、１つの分数にする。

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　左の分数の分母分子に \(3\) を掛けて、
　右の分数の分母分子に \(2\) を掛けると、

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\(\begin{split}&\frac{\,x+y\,}{\,2\,}-\frac{\,x-y\,}{\,3\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,3(x+y)\,}{\,3{\, \small \times \,}2\,}-\frac{\,2(x-y)\,}{\,2{\, \small \times \,}3\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,3(x+y)-2(x-y)\,}{\,6\,}
\end{split}\)

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② 分子の (　) を外して、同類項をまとめる。

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\(\begin{split}~~=~&\frac{\,3x+3y-2x+2y\,}{\,6\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,(3-2)x+(3+2)y\,}{\,6\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,x+5y\,}{\,6\,}
\end{split}\)

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Point：分数をふくむ多項式と分配法則

分数をふくむ多項式を分数 × 多項式にする方法

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① 分子の多項式に (　) を付けて分数 × 多項式の形にする。

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\(\begin{split}&\frac{\,x+y\,}{\,2\,}-\frac{\,x-y\,}{\,3\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}(x+y)-\frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}(x-y)
\end{split}\)

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② 分配法則を使って、同類項をまとめる。

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\(\begin{split}~~=~&\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}x+\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}y-\frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}x-\frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}(-y)
\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,2\,}x+\frac{\,1\,}{\,2\,}y-\frac{\,1\,}{\,3\,}x+\frac{\,1\,}{\,3\,}y
\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,2\,}x-\frac{\,1\,}{\,3\,}x+\frac{\,1\,}{\,2\,}y+\frac{\,1\,}{\,3\,}y
\\[3pt]~~=~&\left(\frac{\,1\,}{\,2\,}-\frac{\,1\,}{\,3\,}\right)x+\left(\frac{\,1\,}{\,2\,}+\frac{\,1\,}{\,3\,}\right)y
\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,6\,}x+\frac{\,5\,}{\,6\,}y
\end{split}\)

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