分数をふくむ多項式の計算の解法
Point：分数をふくむ多項式の計算
① 分子の多項式に ( ) を付けて通分し、１つの分数にする。
左の分数の分母分子に \(3\) を掛けて、
右の分数の分母分子に \(2\) を掛けると、
\(\begin{split}&\frac{\,x+y\,}{\,2\,}-\frac{\,x-y\,}{\,3\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,3(x+y)\,}{\,3{\, \small \times \,}2\,}-\frac{\,2(x-y)\,}{\,2{\, \small \times \,}3\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,3(x+y)-2(x-y)\,}{\,6\,}
\end{split}\)
② 分子の ( ) を外して、同類項をまとめる。
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,3x+3y-2x+2y\,}{\,6\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,(3-2)x+(3+2)y\,}{\,6\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,x+5y\,}{\,6\,}
\end{split}\)
分数をふくむ多項式の計算は、
① 分子の多項式に ( ) を付けて通分し、１つの分数にする。
左の分数の分母分子に \(3\) を掛けて、
右の分数の分母分子に \(2\) を掛けると、
\(\begin{split}&\frac{\,x+y\,}{\,2\,}-\frac{\,x-y\,}{\,3\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,3(x+y)\,}{\,3{\, \small \times \,}2\,}-\frac{\,2(x-y)\,}{\,2{\, \small \times \,}3\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,3(x+y)-2(x-y)\,}{\,6\,}
\end{split}\)
② 分子の ( ) を外して、同類項をまとめる。
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,3x+3y-2x+2y\,}{\,6\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,(3-2)x+(3+2)y\,}{\,6\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,x+5y\,}{\,6\,}
\end{split}\)
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Point：分数をふくむ多項式と分配法則
① 分子の多項式に ( ) を付けて分数 × 多項式の形にする。
\(\begin{split}&\frac{\,x+y\,}{\,2\,}-\frac{\,x-y\,}{\,3\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}(x+y)-\frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}(x-y)
\end{split}\)
② 分配法則を使って、同類項をまとめる。
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}x+\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}y-\frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}x-\frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}(-y)
\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,2\,}x+\frac{\,1\,}{\,2\,}y-\frac{\,1\,}{\,3\,}x+\frac{\,1\,}{\,3\,}y
\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,2\,}x-\frac{\,1\,}{\,3\,}x+\frac{\,1\,}{\,2\,}y+\frac{\,1\,}{\,3\,}y
\\[3pt]~~=~&\left(\frac{\,1\,}{\,2\,}-\frac{\,1\,}{\,3\,}\right)x+\left(\frac{\,1\,}{\,2\,}+\frac{\,1\,}{\,3\,}\right)y
\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,6\,}x+\frac{\,5\,}{\,6\,}y
\end{split}\)
分数をふくむ多項式を分数 × 多項式にする方法
① 分子の多項式に ( ) を付けて分数 × 多項式の形にする。
\(\begin{split}&\frac{\,x+y\,}{\,2\,}-\frac{\,x-y\,}{\,3\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}(x+y)-\frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}(x-y)
\end{split}\)
② 分配法則を使って、同類項をまとめる。
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}x+\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}y-\frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}x-\frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}(-y)
\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,2\,}x+\frac{\,1\,}{\,2\,}y-\frac{\,1\,}{\,3\,}x+\frac{\,1\,}{\,3\,}y
\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,2\,}x-\frac{\,1\,}{\,3\,}x+\frac{\,1\,}{\,2\,}y+\frac{\,1\,}{\,3\,}y
\\[3pt]~~=~&\left(\frac{\,1\,}{\,2\,}-\frac{\,1\,}{\,3\,}\right)x+\left(\frac{\,1\,}{\,2\,}+\frac{\,1\,}{\,3\,}\right)y
\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,6\,}x+\frac{\,5\,}{\,6\,}y
\end{split}\)
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問題解説：分数をふくむ多項式の計算
問題解説(1)
問題
\(\begin{split}{\small (1)}~\frac{\,x+y\,}{\,2\,}+\frac{\,3x-2y\,}{\,4\,}\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (1)}~\frac{\,x+y\,}{\,2\,}+\frac{\,3x-2y\,}{\,4\,}\end{split}\)
分子の多項式に ( ) を付けて通分し、１つの分数にすると、
左の分数の分母分子に \(2\) を掛ける
\(\begin{split}&\frac{\,x+y\,}{\,2\,}+\frac{\,3x-2y\,}{\,4\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,2(x+y)\,}{\,2{\, \small \times \,}2\,}+\frac{\,(3x-2y)\,}{\,4\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,2(x+y)+(3x-2y)\,}{\,4\,}
\end{split}\)
分子の ( ) を外して、同類項をまとめると、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,2{\, \small \times \,} x+2{\, \small \times \,} y+3x-2y\,}{\,4\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,2x+2y+3x-2y\,}{\,4\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,2x+3x+2y-2y\,}{\,4\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,(2+3)x+(2-2)y\,}{\,4\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,5x\,}{\,4\,}~~~~~~~\left(=\frac{\,5\,}{\,4\,}x\right)\end{split}\)
したがって、答えは \(\begin{split}{\frac{\,5x\,}{\,4\,}}\end{split}\) となる
問題解説(2)
問題
\(\begin{split}{\small (2)}~\frac{\,2a-b\,}{\,3\,}-\frac{\,a-5b\,}{\,2\,}\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (2)}~\frac{\,2a-b\,}{\,3\,}-\frac{\,a-5b\,}{\,2\,}\end{split}\)
分子の多項式に ( ) を付けて通分し、１つの分数にすると、
左の分数の分母分子に \(2\) を掛けて、
右の分数の分母分子に \(3\) を掛ける
\(\begin{split}&\frac{\,2a-b\,}{\,3\,}-\frac{\,a-5b\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,2(2a-b)\,}{\,2{\, \small \times \,}3\,}-\frac{\,3(a-5b)\,}{\,3{\, \small \times \,}2\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,2(2a-b)-3(a-5b)\,}{\,6\,}
\end{split}\)
分子の ( ) を外して、同類項をまとめると、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,2{\, \small \times \,} 2a+2{\, \small \times \,} (-b)-3{\, \small \times \,} a-3{\, \small \times \,} (-5b)\,}{\,6\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,4a-2b-3a+15b\,}{\,6\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,4a-3a-2b+15b\,}{\,6\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,(4-3)a+(-2+15)b\,}{\,6\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,a+13b\,}{\,6\,}\end{split}\)
したがって、答えは \(\begin{split}{\frac{\,a+13b\,}{\,6\,}}\end{split}\) となる
問題解説(3)
問題
\(\begin{split}{\small (3)}~\frac{\,3a+2b\,}{\,10\,}-\frac{\,7a-3b\,}{\,15\,}\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (3)}~\frac{\,3a+2b\,}{\,10\,}-\frac{\,7a-3b\,}{\,15\,}\end{split}\)
分子の多項式に ( ) を付けて通分し、１つの分数にすると、
左の分数の分母分子に \(3\) を掛けて、
右の分数の分母分子に \(2\) を掛ける
\(\begin{split}&\frac{\,3a+2b\,}{\,10\,}-\frac{\,7a-3b\,}{\,15\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,3(3a+2b)\,}{\,3{\, \small \times \,}10\,}-\frac{\,2(7a-3b)\,}{\,2{\, \small \times \,}15\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,3(3a+2b)-2(7a-3b)\,}{\,30\,}
\end{split}\)
分子の ( ) を外して、同類項をまとめると、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,3{\, \small \times \,} 3a+3{\, \small \times \,}2b-2{\, \small \times \,}7a-2{\, \small \times \,}(-3b)\,}{\,30\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,9a+6b-14a+6b\,}{\,30\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,9a-14a+6b+6b\,}{\,30\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,(9-14)a+(6+6)b\,}{\,30\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,-5a+12b\,}{\,30\,}\end{split}\)
したがって、答えは \(\begin{split}{\frac{\,-5a+12b\,}{\,30\,}}\end{split}\) となる
問題解説(4)
問題
\(\begin{split}{\small (4)}~x+2y-\frac{\,x-2y\,}{\,5\,}\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (4)}~x+2y-\frac{\,x-2y\,}{\,5\,}\end{split}\)
分子の多項式に ( ) を付けて通分し、１つの分数にすると、
※ \(x+2y\) を分数 \(\begin{split}{\frac{\,x+2y\,}{\,1\,}}\end{split}\) と考える。
左の分数の分母分子に \(5\) を掛ける
\(\begin{split}&x+2y-\frac{\,x-2y\,}{\,5\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,x+2y\,}{\,1\,}-\frac{\,x-2y\,}{\,5\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,5(x+2y)\,}{\,5{\, \small \times \,}1\,}-\frac{\,(x-2y)\,}{\,5\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,5(x+2y)-(x-2y)\,}{\,5\,}
\end{split}\)
分子の ( ) を外して、同類項をまとめると、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,5{\, \small \times \,} x+5{\, \small \times \,}2y-x+2y\,}{\,5\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,5x+10y-x+2y\,}{\,5\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,5x-x+10y+2y\,}{\,5\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,(5-1)x+(10+2)y\,}{\,5\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,4x+12y\,}{\,5\,}\end{split}\)
したがって、答えは \(\begin{split}{\frac{\,4x+12y\,}{\,5\,}}\end{split}\) となる
【問題一覧】中２｜式の計算
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