１次関数の変化の割合

Point：１次関数の変化の割合

関数の変化の割合は、
　(変化の割合) ＝ ( \(y\) の増加量)( \(x\) の増加量)
※ 増加量は、(変化後)ー(変化前)で求める。

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１次関数 \(y=ax+b\) の変化の割合は一定で \(x\) の係数の \(a\) に等しい。

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例えば、\(y=2x+1\) の \(x=-1\) から \(x=2\) までの変化の割合は、

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① \(x\) の値から \(y\) の値を求める。

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　　\(x=-1\) のとき、\(y=-2+1=-1\)
　　\(x=2\) のとき、\(y=4+1=5\)

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② \(x\) の増加量、\(y\) の増加量を求める。

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　　\(x\)｜\(-1\) → \(2\) より、\(2-(-1)=3\)
　　\(y\)｜\(0\) → \(3\) より、\(5-(-1)=6\)

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③ 変化の割合を求める。

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　　\(\begin{split}\frac{\,6\,}{\,3\,}=2\end{split}\)　\(x\) の係数と等しい。

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また、\(y=2x+1\) の \(x\) の増加量が \(5\) のときの \(y\) の増加量は、

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　( \(x\) の増加量)＝(変化の割合)×( \(x\) の増加量)

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　これより、　\(\begin{split}2{\, \small \times \,}5=10\end{split}\)

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問題

次の問いに答えよ。

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\({\small (1)}~\)次の１次関数の \(x\) の値が \(-2\) から \(3\) まで増加するとき、\(x\) の増加量、\(y\) の増加量、変化の割合をそれぞれ答えよ。

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　①　\(\begin{split}y=2x-1\end{split}\)
　②　\(\begin{split}y=-3x+6\end{split}\)
　③　\(\begin{split}y=4x\end{split}\)

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　④　\(\begin{split}y=\frac{\,12\,}{\,x\,}\end{split}\)

①　\(\begin{split}y=2x-1\end{split}\)
それぞれの \(y\) の値は、
　\(x=-2\) のとき、

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　　\(\begin{split}y=2{\, \small \times \,}(-2)-1=-4-1=-5\end{split}\)

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　\(x=3\) のとき、

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　　\(\begin{split}y=2{\, \small \times \,}3-1=6-1=5\end{split}\)

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それぞれの変化は、
　　\(x\)｜\(-2\) → \(3\)
　　\(y\)｜\(-5\) → \(5\)
よって、\(x\) の増加量は \(-2\) から \(3\) まで増加するので、

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　\(\begin{split}3-(-2)=3+2=5\end{split}\)

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\(y\) の増加量は \(-5\) から \(5\) まで増加するので、

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　\(\begin{split}5-(-5)=5+5=10\end{split}\)

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これより、変化の割合は、

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　\(\begin{split}\frac{\,10\,}{\,5\,}=2\end{split}\)

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※ \(x\) の係数 \(2\) と等しくなる。

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したがって、
　\(x\) の増加量 \(5\)、\(y\) の増加量 \(10\)、変化の割合 \(2\)

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②　\(\begin{split}y=-3x+6\end{split}\)
それぞれの \(y\) の値は、
　\(x=-2\) のとき、

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　　\(\begin{split}y=-3{\, \small \times \,}(-2)+6=6+6=12\end{split}\)

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　\(x=3\) のとき、

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　　\(\begin{split}y=-3{\, \small \times \,}3+6=-9+6=-3\end{split}\)

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それぞれの変化は、
　　\(x\)｜\(-2\) → \(3\)
　　\(y\)｜\(12\) → \(-3\)
よって、\(x\) の増加量は \(-2\) から \(3\) まで増加するので、

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　\(\begin{split}3-(-2)=3+2=5\end{split}\)

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\(y\) の増加量は \(12\) から \(-3\) まで増加するので、

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　\(\begin{split}-3-12=-15\end{split}\)

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これより、変化の割合は、

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　\(\begin{split}\frac{\,-15\,}{\,5\,}=-3\end{split}\)

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※ \(x\) の係数 \(-3\) と等しくなる。

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したがって、
　\(x\) の増加量 \(5\)、\(y\) の増加量 \(-15\)、変化の割合 \(-3\)

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③　\(\begin{split}y=4x\end{split}\)
それぞれの \(y\) の値は、
　\(x=-2\) のとき、

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　　\(\begin{split}y=4{\, \small \times \,}(-2)=-8\end{split}\)

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　\(x=3\) のとき、

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　　\(\begin{split}y=4{\, \small \times \,}3=12\end{split}\)

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それぞれの変化は、
　　\(x\)｜\(-2\) → \(3\)
　　\(y\)｜\(-8\) → \(12\)
よって、\(x\) の増加量は \(-2\) から \(3\) まで増加するので、

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　\(\begin{split}3-(-2)=3+2=5\end{split}\)

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\(x\) の増加量は \(-8\) から \(12\) まで増加するので、

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　\(\begin{split}12-(-8)=12+8=20\end{split}\)

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これより、変化の割合は、

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　\(\begin{split}\frac{\,20\,}{\,5\,}=4\end{split}\)

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※ \(x\) の係数 \(4\) と等しくなる。

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したがって、
　\(x\) の増加量 \(5\)、\(y\) の増加量 \(20\)、変化の割合 \(4\)

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④　\(\begin{split}y=\frac{\,12\,}{\,x\,}\end{split}\)
それぞれの \(y\) の値は、
　\(x=-2\) のとき、

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　　\(\begin{split}y=\frac{\,12\,}{\,-2\,}=-6\end{split}\)

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　\(x=3\) のとき、

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　　\(\begin{split}y=\frac{\,12\,}{\,3\,}=4\end{split}\)

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それぞれの変化は、
　　\(x\)｜\(-2\) → \(3\)
　　\(y\)｜\(-6\) → \(4\)
よって、\(x\) の増加量は \(-2\) から \(3\) まで増加するので、

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　\(\begin{split}3-(-2)=3+2=5\end{split}\)

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\(y\) の増加量は \(-6\) から \(4\) まで増加するので、

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　\(\begin{split}4-(-6)=4+6=10\end{split}\)

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これより、変化の割合は、

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　\(\begin{split}\frac{\,10\,}{\,5\,}=2\end{split}\)

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したがって、
　\(x\) の増加量 \(5\)、\(y\) の増加量 \(10\)、変化の割合 \(2\)

問題

次の問いに答えよ。

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\({\small (2)}~\)次の１次関数の変化の割合を答えよ。また、\(x\) の増加量が \(2\) のとき、\(y\) の増加量を求めよ。

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　①　\(\begin{split}y=6x-5\end{split}\)
　②　\(\begin{split}y=-5x+1\end{split}\)

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　③　\(\begin{split}y=\frac{\,2\,}{\,3\,}x+2\end{split}\)

①　\(\begin{split}y=6x-5\end{split}\)
１次関数の \(x\) の係数が変化の割合となるので、
　(変化の割合) \(=6\)

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また、( \(y\) の増加量) ＝ (変化の割合) × ( \(x\) の増加量) より、

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　\(\begin{split}6{\, \small \times \,}2=12\end{split}\)

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したがって、
　変化の割合 \(6\)、\(y\) の増加量 \(12\)

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②　\(\begin{split}y=-5x+1\end{split}\)
１次関数の \(x\) の係数が変化の割合となるので、
　(変化の割合) \(=-5\)

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また、( \(y\) の増加量) ＝ (変化の割合) × ( \(x\) の増加量) より、

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　\(\begin{split}-5{\, \small \times \,}2=-10\end{split}\)

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したがって、
　変化の割合 \(-5\)、\(y\) の増加量 \(-10\)

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③　\(\begin{split}y=\frac{\,2\,}{\,3\,}x+2\end{split}\)
１次関数の \(x\) の係数が変化の割合となるので、
　(変化の割合) \(\begin{split}={\frac{\,2\,}{\,3\,}}\end{split}\)

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また、( \(y\) の増加量) ＝ (変化の割合) × ( \(x\) の増加量) より、

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　\(\begin{split}\frac{\,2\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}2=\frac{\,4\,}{\,3\,}\end{split}\)

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したがって、
　変化の割合 \(\begin{split}{\frac{\,2\,}{\,3\,}}\end{split}\)、\(y\) の増加量 \(\begin{split}{\frac{\,4\,}{\,3\,}}\end{split}\)