三角形の合同の証明の解法
■ 三角形の内角と外角
\({\small (1)}~\)三角形の内角の和は \(180^\circ\) である。
\({\small (2)}~\)三角形の外角は、それととなり合わない２つの内角の和に等しい。
■ ２直線と角
\({\small (3)}~\)対頂角が等しい。
■ ２直線に１つの直線が交わる
\({\small (4)}~\)２直線が平行ならば、同位角は等しい。
\({\small (5)}~\)２直線が平行ならば、錯角は等しい。
\({\small (6)}~\)同位角が等しければ、２直線は平行である。
\({\small (7)}~\)錯角が等しければ、２直線は平行である。
■ 合同な図形
\({\small (8)}~\)合同な図形では、対応する線分や角は等しい。
■ 角形の合同条件
\({\small (9)}~\)３組の辺がそれぞれ等しい。
\({\small (10)}~\)２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
\({\small (11)}~\)１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。
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三角形の合同の証明方法は、
証明を書き始める前に、見通しをたてる。
・証明する２つの三角形に着目する。
・仮定や仮定から導かれる根拠となることがらを考える。
・根拠より、合同条件を考える。
■ 証明のすすめ方
① 着目している三角形がどれとどれかを書く。
② 仮定から根拠となることがらを書く。
③ 仮定から導かられる根拠を書く。
④ 根拠から三角形の合同条件を書く。
⑤ 三角形が合同であることを記号 \(\equiv\) で表す。
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問題解説：三角形の合同の証明
問題解説(1)
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)次のことの根拠となることがらを説明せよ。
① 図１で、\(\angle a=50^\circ\)
② 図１で、\(\angle b=130^\circ\)
③ 図２で、\(\angle a=\angle b\)
④ 図２で、\(l\,//\,m\) ならば \(\angle a=\angle c\)
⑤ 図２で、\(l\,//\,m\) ならば \(\angle b=\angle c\)
⑥ 図２で、\(\angle a=\angle c\) ならば \(l\,//\,m\)
⑦ 図２で、\(\angle b=\angle c\) ならば \(l\,//\,m\)
⑧ 図３で、
\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm A’B’C’}\) ならば \({\rm AB=A’B’}\)
① \(\angle a=180^\circ-(60^\circ+70^\circ)=50^\circ\)
これより、
三角形の内角の和は \(180^\circ\) である
② \(\angle b=60^\circ+70^\circ=130^\circ\)
これより、
三角形の外角は、それととなり合わない２つの内角の和に等しい
③ 向かい合う角が等しいので、
対頂角が等しい
④ \(l\) と \(m\) が平行であるので、
２直線が平行ならば、同位角は等しい
⑤ \(l\) と \(m\) が平行であるので、
２直線が平行ならば、錯角は等しい
⑥ \(\angle a=\angle c\) より、
同位角が等しければ、その２直線は平行である
⑦ \(\angle b=\angle c\) より、
錯角が等しければ、その２直線は平行である
⑧ \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm A’B’C’}\) が合同より、
合同な図形では、対応する線分や角は等しい
問題解説(2)
次の問いに答えよ。
\({\small (2)}~\)次の図で \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm ADC}\) が合同であることを証明せよ。
・証明するのは \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm ADC}\) の合同で、この２つの三角形に着目する
・仮定より、\({\rm AB=AD~,~BC=DC}\)
・共通の辺から、\({\rm AC=AC}\)
・合同条件は、３組の辺がそれぞれ等しい
[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm ADC}\) において、
仮定より、
\({\rm AB=AD}~~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm BC=DC}~~~\cdots{\large ②}\)
また、共通の辺から、
\({\rm AC=AC}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、
３組の辺がそれぞれ等しいから、
\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm ADC}\)
[終]
