図形の性質と証明の解法
図形の性質の証明方法は、
証明を書き始める前に、見通しをたてる。
・結論を導くために、示すべき合同な２つの三角形を見つける。
・仮定や仮定から導かれる根拠となることがらを考える。
・根拠より、合同条件を考える。
・三角形の合同から結論を導く。
■ 証明のすすめ方
① 着目している三角形がどれとどれかを書く。
② 仮定から根拠となることがらを書く。
③ 仮定から導かられる根拠を書く。
④ 根拠から三角形の合同条件を書く。
⑤ 三角形が合同であることを記号 \(\equiv\) で表す。
⑥ 合同な図形の性質より、結論を導く。
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問題解説：図形の性質と証明
問題解説(1)
次の証明をせよ。
\({\small (1)}~\)次の図において、
\({\rm AO=BO~,~CO=DO}\) ならば \({\rm AC\,//\,DB}\)
・\({\rm AC\,//\,DB}\) を示すために、\(\angle{\rm ACO}=\angle{\rm BDO}\) の錯角が等しいことを示す
・これを示すために、 \(\triangle {\rm ACO}\) と \(\triangle {\rm BDO}\) が合同であることを示す
・仮定より、\({\rm AO=BO~,~CO=DO}\)
・対頂角から、\(\angle{\rm AOC}=\angle{\rm BOD}\)
・合同条件は、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
[証明] \(\triangle {\rm ACO}\) と \(\triangle {\rm BDO}\) において、
仮定より、
\({\rm AO=BO}~~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm CO=DO}~~~\cdots{\large ②}\)
また、対頂角から、
\(\angle{\rm AOC}=\angle{\rm BOD}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
\(\triangle {\rm ACO}\equiv\triangle {\rm BDO}\)
合同な図形では対応する角の大きさは等しいから、
\(\angle{\rm ACO}=\angle{\rm BDO}\)
錯角が等しいから、
\({\rm AC\,//\,DB}\)
[終]
問題解説(2)
次の証明をせよ。
\({\small (2)}~\)次の図において、
\({\rm AO=BO~,~AD\,//\,CB}\) ならば \({\rm AD=CB}\)
・\({\rm AD=CB}\) を示すために、 \(\triangle {\rm AOD}\) と \(\triangle {\rm BOD}\) が合同であることを示す
・仮定より、\({\rm AO=BO}\)
・\({\rm AD\,//\,CB}\) より錯角が等しいから、\(\angle{\rm DAO}=\angle{\rm CBO}\)
・対頂角から、\(\angle{\rm AOD}=\angle{\rm BOC}\)
・合同条件は、１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
[証明] \(\triangle {\rm AOD}\) と \(\triangle {\rm BOD}\) において、
仮定より、
\({\rm AO=BO}~~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm AD\,//\,CB}\) より錯角が等しいから、
\(\angle{\rm DAO}=\angle{\rm CBO}~~~\cdots{\large ②}\)
また、対頂角から、
\(\angle{\rm AOD}=\angle{\rm BOC}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、
\(\triangle {\rm AOD}\equiv\triangle {\rm BOD}\)
合同な図形では対応する辺の長さは等しいから、
\({\rm AD=CB}\)
[終]
問題解説(3)
次の証明をせよ。
\({\small (3)}~\)角の二等分線の作図において、
半直線 \({\rm OR}\) が \(\angle {\rm AOB}\) を二等分する
・\(\angle{\rm AOR}=\angle{\rm BOR}\) を示すために、 \(\triangle {\rm POR}\) と \(\triangle {\rm QOR}\) が合同であることを示す
・仮定より、\({\rm OP=OQ~,~PR=QR}\)
・共通の辺から、\({\rm OR=OR}\)
・合同条件は、３組の辺がそれぞれ等しい
[証明] \(\triangle {\rm POR}\) と \(\triangle {\rm QOR}\) において、
仮定より、点 \({\rm O}\) を中心とした円と半直線 \({\rm OA~,~OB}\) の交点が \({\rm P~,~Q}\) より、
\({\rm OP=OQ}~~~\cdots{\large ①}\)
点 \({\rm P~,~Q}\) を中心とした同じ半径の円の交点が \({\rm R}\) より、
\({\rm PR=QR}~~~\cdots{\large ②}\)
また、共通の辺から、
\({\rm OR=OR}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、
３組の辺がそれぞれ等しいから、
\(\triangle {\rm POR}\equiv\triangle {\rm QOR}\)
合同な図形では対応する角の大きさは等しいから、
\(\angle{\rm POR}=\angle{\rm QOR}\)
これより、
\(\angle{\rm AOR}=\angle{\rm BOR}\)
したがって、半直線 \({\rm OR}\) が \(\angle {\rm AOB}\) を二等分する
[終]
