正三角形の性質

正三角形の性質の解法

Point：正三角形の性質

正三角形の定義は、

【定義】３つの辺がすべて等しい三角形を正三角形という。

正三角形の定理は、

【定理】正三角形の３つの角はすべて等しい。

→ 上の図で、\(\angle{\rm A}=\angle{\rm B}=\angle{\rm C}=60^\circ\)

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問題

次の証明をせよ。

\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\) において、
　 \({\rm AB=BC=CA}\)
　　ならば \(\angle{\rm A}=\angle{\rm B}=\angle{\rm C}\)
であることを証明せよ。

三角形の３つの角が等しいことを示すために、二等辺三角形の性質を２回使う。

[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) において、
\({\rm AB=AC}\) より、\(\angle{\rm A}\) を頂角とする二等辺三角形となる
よって、底角が等しいので、

\(~~~\angle{\rm B}=\angle{\rm C}~~~\cdots{\large ①}\)

また、\({\rm BA=BC}\) より、\(\angle{\rm B}\) を頂角とする二等辺三角形となる
よって、底角が等しいので、

\(~~~\angle{\rm A}=\angle{\rm C}~~~\cdots{\large ②}\)

したがって、①と②より、

\(~~~\angle{\rm A}=\angle{\rm B}=\angle{\rm C}\)

[終]

問題

次の証明をせよ。

\({\small (2)}~\)３つの角がすべて等しい \(\triangle {\rm ABC}\) は正三角形であることを証明せよ。

正三角形であることを示すために、３つの辺が等しければよい。(定義)
底角が等しい二等辺三角形の定理を使う。

[証明] \(\triangle {\rm ABC}\) において、
\(\angle{\rm B}=\angle{\rm C}\) より、底角が等しいので、\(\angle{\rm A}\) を頂角とする二等辺三角形となる
よって、二等辺三角形の定義より、

\(~~~{\rm AB=AC}~~~\cdots{\large ①}\)

また、\(\angle{\rm A}=\angle{\rm C}\) より、底角が等しいので、\(\angle{\rm B}\) を頂角とする二等辺三角形となる
よって、二等辺三角形の定義より、

\(~~~{\rm BA=BC}~~~\cdots{\large ②}\)

①、②より、

\(~~~{\rm AB=BC=CA}\)

したがって、３つの辺が等しいので、
　\(\triangle {\rm ABC}\) は正三角形
である [終]