直角三角形の証明の解法
直角三角形の合同の証明方法は、
証明を書き始める前に、見通しをたてる。
・証明する２つの直角三角形に着目する。
・仮定や仮定から導かれる根拠となることがらを考える。
・根拠より、合同条件を考える。
斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい。
斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい。
■ 証明のすすめ方
① 着目している三角形がどれとどれかを書く。
② 仮定から根拠となることがらを書く。
③ 仮定から導かられる根拠を書く。
④ 根拠から三角形の合同条件を書く。
⑤ 三角形が合同であることを記号 \equiv で表す。
⑥ 合同な図形の性質より、結論を導く。
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問題解説：直角三角形の証明
問題解説(1)
次の証明をせよ。
{\small (1)}~\triangle {\rm ABC} は {\rm AB=AC} の二等辺三角形で、点 {\rm A} から辺 {\rm BC} に垂線をひき、その交点を {\rm D} とするとき、{\rm BD=CD} となることを証明せよ。
・{\rm BD=CD} を示すために、\triangle {\rm ABD} と \triangle {\rm ACD} に着目する
・仮定より、{\rm AB=AC} (斜辺)
・仮定より、\angle{\rm ADB}=\angle{\rm ADC} (直角)
・共通の辺より、{\rm AD=AD}
・合同条件は、直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい
[証明] \triangle {\rm ABD} と \triangle {\rm ACD} において、
仮定より、
{\rm AB=AC}~~~\cdots{\large ①}
\angle{\rm ADB}=\angle{\rm ADC}=90^\circ~~~\cdots{\large ②}
共通の辺より、
{\rm AD=AD}~~~\cdots{\large ③}
①、②、③より、直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいから、
\triangle {\rm ABD}\equiv\triangle {\rm ACD}
合同な図形では対応する辺の長さは等しいから、
{\rm BD=CD}
[終]
問題解説(2)
次の証明をせよ。
{\small (2)}~\triangle {\rm ABC} の点 {\rm B~,~C} からそれぞれ辺 {\rm AC~,~AB} に垂線をひき、その交点を {\rm E~,~D} とするとき、{\rm BD=CE} ならば \triangle {\rm ABC} が二等辺三角形となることを証明せよ。
・\triangle {\rm ABC} が二等辺三角形であることを示すために、\angle{\rm B}=\angle{\rm C} を示す
・よって、\triangle {\rm DBC} と \triangle {\rm ECB} に着目する
・共通の辺より、{\rm BC=CB} (斜辺)
・仮定より、\angle{\rm BDC}=\angle{\rm CEB} (直角)
・仮定より、{\rm BD=CE}
・合同条件は、直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい
[証明] \triangle {\rm DBC} と \triangle {\rm ECB} において、
仮定より、
{\rm BD=CE}~~~\cdots{\large ①}
\angle{\rm BDC}=\angle{\rm CEB}=90^\circ~~~\cdots{\large ②}
共通の辺より、
{\rm BC=CB}~~~\cdots{\large ③}
①、②、③より、直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので、
\triangle {\rm DBC}\equiv\triangle {\rm ECB}
合同な図形では対応する角の大きさは等しいから、
\angle{\rm DBC}=\angle{\rm ECB}
よって、\angle{\rm B}=\angle{\rm C} となり、底角が等しいから、
\triangle {\rm ABC} は二等辺三角形となる
[終]
問題解説(3)
次の証明をせよ。
{\small (3)}~次の図において、点 {\rm P} から直線 {\rm OX~,~OY} にそれぞれ垂線をひき、その交点を {\rm A~,~B} とするとき、{\rm OA=OB} ならば直線 {\rm OP} は \angle{\rm XOY} の二等分線となることを証明せよ。
・直線 {\rm OP} が \angle{\rm XOY} の二等分線となるを示すために、\angle{\rm POA}=\angle{\rm POB} を示す
・よって、\triangle {\rm POA} と \triangle {\rm POB} に着目する
・共通の辺より、{\rm PO=PO} (斜辺)
・仮定より、\angle{\rm PAO}=\angle{\rm PBO} (直角)
・仮定より、{\rm OA=OB}
・合同条件は、直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい
[証明] \triangle {\rm POA} と \triangle {\rm POB} において、
仮定より、
{\rm OA=OB}~~~\cdots{\large ①}
\angle{\rm PAO}=\angle{\rm PBO}=90^\circ~~~\cdots{\large ②}
共通の辺より、
{\rm PO=PO}~~~\cdots{\large ③}
①、②、③より、直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいから、
\triangle {\rm POA}\equiv\triangle {\rm POB}
合同な図形では対応する角の大きさは等しいから、
\angle{\rm POA}=\angle{\rm POB}
したがって、
直線 {\rm OP} が \angle{\rm XOY} の二等分線となる
[終]
