平行四辺形になるための条件

Point：平行四辺形になるための条件

四角形が平行四辺形になるための条件は、

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　\({\small (1)}~\)２組の対辺がそれぞれ平行である(定義)
　\({\small (2)}~\)２組の対辺がそれぞれ等しい(定理)
　\({\small (3)}~\)２組の対角がそれぞれ等しい(定理)
　\({\small (4)}~\)対角線がそれぞれの中点で交わる(定理)
　\({\small (5)}~\)１組の対辺が等しくて平行である(定理)

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これらのどれかが成り立てば、その四角形は平行四辺形となる。

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問題

次の問いに答えよ。

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\({\small (1)}~\)四角形 \({\rm ABCD}\) で、
　\({\rm AB=DC~,~AD=BC}\) ならば
　四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形である
　を証明せよ。

[証明] 対角線 \({\rm AC}\) をひき、\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm ABC}\) において、
仮定より、
　\({\rm AB=CD}~~~\cdots{\large ①}\)
　\({\rm BC=DA}~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
　\({\rm AC=CA}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、３組の辺がそれぞれ等しいから、
　\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm CDA}\)
合同な図形では対応する角の大きさは等しいから、
　\(\angle{\rm BAC}=\angle{\rm DCA}~~~\cdots{\large ④}\)
　\(\angle{\rm ACB}=\angle{\rm CAD}~~~\cdots{\large ⑤}\)
④より、錯角が等しいので \({\rm AB\,//\,CD}\)
⑤より、錯角が等しいので \({\rm AD\,//\,BC}\)
対辺がそれぞれ平行であるので、
四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形である
[終]

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※ 平行四辺形になるための条件
　２組の対辺がそれぞれ等しい(定理)
　の証明となる。

問題

次の問いに答えよ。

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\({\small (2)}~\)四角形 \({\rm ABCD}\) で、
　\(\angle{\rm A}=\angle{\rm C}~,~\angle{\rm B}=\angle{\rm D}\) ならば
　四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形である
　を証明せよ。

[証明] 辺 \({\rm BC}\) の延長線上の点を \({\rm E}\) とする
四角形の内角の和が \(360^\circ\) より、

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\(~~~\angle{\rm A}+\angle{\rm B}+\angle{\rm C}+\angle{\rm D}=360^\circ\)

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\(\angle{\rm A}=\angle{\rm C}~,~\angle{\rm B}=\angle{\rm D}\) であるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\angle{\rm A}+\angle{\rm B}+\angle{\rm C}+\angle{\rm D}&=&360^\circ\\[2pt]~~~\angle{\rm C}+\angle{\rm D}+\angle{\rm C}+\angle{\rm D}&=&360^\circ\\[2pt]~~~2(\angle{\rm C}+\angle{\rm D})&=&360^\circ\\[2pt]~~~\angle{\rm C}+\angle{\rm D}&=&180^\circ\end{eqnarray}\)

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これより、

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\(~~~\angle{\rm DCE}=180^\circ-\angle{\rm C}=\angle{\rm D}\)

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錯角が等しいので、
　\({\rm AD\,//\,BC}~~~\cdots{\large ①}\)
同様に考えて、
　\({\rm AB\,//\,DC}~~~\cdots{\large ②}\)
①と②より、対辺がそれぞれ平行であるので、
四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形である
[終]

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※ 平行四辺形になるための条件
　２組の対角がそれぞれ等しい(定理)
　の証明となる。

問題

次の問いに答えよ。

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\({\small (3)}~\)四角形 \({\rm ABCD}\) で対角線の交点を \({\rm O}\) とするとき、
　\({\rm AO=CO~,~BO=DO}\) ならば
　四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形である
　を証明せよ。

[証明] \(\triangle {\rm ABO}\) と \(\triangle {\rm CDO}\) において、
仮定より、
　\({\rm AO=CO}~~~\cdots{\large ①}\)
　\({\rm BO=DO}~~~\cdots{\large ②}\)
対頂角が等しいので、
　\(\angle{\rm AOB}=\angle{\rm COD}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
　\(\triangle {\rm ABO}\equiv\triangle {\rm CDO}\)
合同な図形では対応する角の大きさは等しいから、
　\(\angle{\rm BAO}=\angle{\rm DCO}\)
錯角が等しいので、
　\({\rm AB\,//\,DC}\)
\(\triangle {\rm AOD}\) と \(\triangle {\rm COB}\) でも同様に考えて、
　\({\rm AD\,//\,BC}\)
対辺がそれぞれ平行であるので、
四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形である
[終]

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※ 平行四辺形になるための条件
　対角線がそれぞれの中点で交わる(定理)
　の証明となる。

問題

次の問いに答えよ。

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\({\small (4)}~\)四角形 \({\rm ABCD}\) で、
　\({\rm AD=BC~,~AD\,//\,BC}\) ならば
　四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形である
　を証明せよ。

[証明] 対角線 \({\rm AC}\) をひき、\(\triangle {\rm ABC}\) と \(\triangle {\rm ABC}\) において、
仮定より、
　\({\rm BC=DA}~~~\cdots{\large ①}\)
\({\rm BC\,//\,AD}\) より、錯角が等しいので、
　\(\angle{\rm ACB}=\angle{\rm CAD}~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
　\({\rm AC=CA}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
　\(\triangle {\rm ABC}\equiv\triangle {\rm CDA}\)
合同な図形では対応する角の大きさは等しいから、
　\(\angle{\rm BAC}=\angle{\rm DCA}\)
錯角が等しいので \({\rm AB\,//\,CD}\)
したがって、対辺がそれぞれ平行であるので、
四角形 \({\rm ABCD}\) は平行四辺形である
[終]

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※ 平行四辺形になるための条件
　１組の対辺が等しくて平行である(定理)
　の証明となる。