展開・因数分解を利用した計算の解法
Point：乗法公式を利用した計算のくふう
① \(n^2=(a+b)^2\) と２つの数の和や差とする。
このとき、\(a^2\) は計算しやすい数がよい。
\(\begin{split}~~~~~101^2=(100+1)^2\end{split}\)
② 乗法公式 \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) を用いて展開し計算する。
\(\begin{split}~~=~&(100+1)^2
\\[2pt]~~=~&100^2+2{\, \small \times \,}100{\, \small \times \,}1+1^2
\\[2pt]~~=~&10000+200+1
\\[2pt]~~=~&10201
\end{split}\)
■ \(m{\, \small \times \,} n\) タイプ(２乗 ー ２乗の乗法公式)
① \(m~,~n\) を２つの数 \(a~,~b\) の和と差で表す。
\(\begin{split}~~~~~18{\, \small \times \,}22=(20-2)(20+2)\end{split}\)
② 乗法公式 \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) を用いて展開し計算する。
\(\begin{split}~~=~&(20-2)(20+2)
\\[2pt]~~=~&20^2-2^2
\\[2pt]~~=~&400-4
\\[2pt]~~=~&396
\end{split}\)
■ \(n^2\) タイプ(乗法公式)
① \(n^2=(a+b)^2\) と２つの数の和や差とする。
このとき、\(a^2\) は計算しやすい数がよい。
\(\begin{split}~~~~~101^2=(100+1)^2\end{split}\)
② 乗法公式 \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) を用いて展開し計算する。
\(\begin{split}~~=~&(100+1)^2
\\[2pt]~~=~&100^2+2{\, \small \times \,}100{\, \small \times \,}1+1^2
\\[2pt]~~=~&10000+200+1
\\[2pt]~~=~&10201
\end{split}\)
■ \(m{\, \small \times \,} n\) タイプ(２乗 ー ２乗の乗法公式)
① \(m~,~n\) を２つの数 \(a~,~b\) の和と差で表す。
\(\begin{split}~~~~~18{\, \small \times \,}22=(20-2)(20+2)\end{split}\)
② 乗法公式 \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) を用いて展開し計算する。
\(\begin{split}~~=~&(20-2)(20+2)
\\[2pt]~~=~&20^2-2^2
\\[2pt]~~=~&400-4
\\[2pt]~~=~&396
\end{split}\)
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Point：因数分解を利用した計算のくふう
① 因数分解の公式 \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) を用いて因数分解する。
\(\begin{split}~~~~~17^2-7^2=(17+7)(17-7)\end{split}\)
② ( ) の中の計算を先にする。
\(\begin{split}~~=~&(17+7)(17-7)
\\[2pt]~~=~&24{\, \small \times \,}10
\\[2pt]~~=~&240
\end{split}\)
■ \(ab+ac\) タイプ(共通因数)
① 共通因数をくくり出す。
\(\begin{split}~~~~~15{\, \small \times \,}7+15{\, \small \times \,}3=15{\, \small \times \,}(7+3)\end{split}\)
② ( ) の中の計算を先にする。
\(\begin{split}~~=~&15{\, \small \times \,}10
\\[2pt]~~=~&150
\end{split}\)
■ \(m^2-n^2\) タイプ(２乗 ー ２乗の因数分解)
① 因数分解の公式 \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) を用いて因数分解する。
\(\begin{split}~~~~~17^2-7^2=(17+7)(17-7)\end{split}\)
② ( ) の中の計算を先にする。
\(\begin{split}~~=~&(17+7)(17-7)
\\[2pt]~~=~&24{\, \small \times \,}10
\\[2pt]~~=~&240
\end{split}\)
■ \(ab+ac\) タイプ(共通因数)
① 共通因数をくくり出す。
\(\begin{split}~~~~~15{\, \small \times \,}7+15{\, \small \times \,}3=15{\, \small \times \,}(7+3)\end{split}\)
② ( ) の中の計算を先にする。
\(\begin{split}~~=~&15{\, \small \times \,}10
\\[2pt]~~=~&150
\end{split}\)
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問題解説：展開・因数分解を利用した計算
問題解説(1)
問題
\(\begin{split}{\small (1)}~~98^2\end{split}\)
次の式をくふうして計算せよ。
\(\begin{split}{\small (1)}~~98^2\end{split}\)
■ \(n^2\) タイプ(乗法公式)
\(98=100-2\) と考えると、
\(\begin{split}&98^2\\[2pt]~~=~&(100-2)^2\end{split}\)
乗法公式 \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) を使い展開すると、
\(\begin{split}~~=~&100^2+2{\, \small \times \,} 100{\, \small \times \,} (-2)+(-2)^2\\[2pt]~~=~&10000-400+4\\[2pt]~~=~&9604\end{split}\)
したがって、答えは \(9604\) となる。
問題解説(2)
問題
\(\begin{split}{\small (2)}~~53{\, \small \times \,}47\end{split}\)
次の式をくふうして計算せよ。
\(\begin{split}{\small (2)}~~53{\, \small \times \,}47\end{split}\)
■ \(m{\, \small \times \,} n\) タイプ(２乗 ー ２乗の乗法公式)
\(53=50+3~,~47=50-3\) と考えると、
\(\begin{split}&53{\, \small \times \,}47\\[2pt]~~=~&(50+3)(50-3)\end{split}\)
２乗 ー ２乗の乗法公式を使い展開すると、
\(\begin{split}~~=~&50^2-3^2\\[2pt]~~=~&2500-9\\[2pt]~~=~&2491\end{split}\)
したがって、答えは \(2491\) となる。
問題解説(3)
問題
\(\begin{split}{\small (3)}~~35^2-15^2\end{split}\)
次の式をくふうして計算せよ。
\(\begin{split}{\small (3)}~~35^2-15^2\end{split}\)
■ \(m^2-n^2\) タイプ(２乗 ー ２乗の因数分解)
２乗 ー ２乗の因数分解の公式を使うと、
\(\begin{split}&35^2-15^2\\[2pt]~~=~&(35+15)(35-15)\end{split}\)
( ) の中の計算を先にすると、
\(\begin{split}~~=~&50{\, \small \times \,}20\\[2pt]~~=~&1000\end{split}\)
したがって、答えは \(1000\) となる。
問題解説(4)
問題
\(\begin{split}{\small (4)}~11{\, \small \times \,}13+17{\, \small \times \,}11\end{split}\)
次の式をくふうして計算せよ。
\(\begin{split}{\small (4)}~11{\, \small \times \,}13+17{\, \small \times \,}11\end{split}\)
■ \(ab+ac\) タイプ(共通因数)
共通因数 \(11\) でくくり出すと、
\(\begin{split}&11{\, \small \times \,}13+17{\, \small \times \,}11\\[2pt]~~=~&11(13+17)\end{split}\)
( ) の中の計算を先にすると、
\(\begin{split}~~=~&11{\, \small \times \,}30\\[2pt]~~=~&330\end{split}\)
したがって、答えは \(330\) となる。
【問題一覧】中３｜展開と因数分解
このページは「中学数学３ 展開と因数分解」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからない...
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