展開・因数分解と式の値の解法
Point：展開・因数分解と式の値
① 値を求める式を乗法公式や因数分解の公式を用いて簡単な式にする。
② 文字式に数値を代入して、式の値を求める。
例えば、\(x=98\) のとき、\(x^2+4x+4\) の値は、
因数分解すると、
\(\begin{split}&x^2+4x+4
\\[2pt]~~=~&(x+2)^2
\end{split}\)
この式に \(x=98\) を代入すると、
\(\begin{split}~~=~&(98+2)^2
\\[2pt]~~=~&100^2
\\[2pt]~~=~&10000
\end{split}\)
文字式に数値を代入して式の値を求める問題は、
※ そのまま代入すると計算が大変になる。
① 値を求める式を乗法公式や因数分解の公式を用いて簡単な式にする。
② 文字式に数値を代入して、式の値を求める。
例えば、\(x=98\) のとき、\(x^2+4x+4\) の値は、
因数分解すると、
\(\begin{split}&x^2+4x+4
\\[2pt]~~=~&(x+2)^2
\end{split}\)
この式に \(x=98\) を代入すると、
\(\begin{split}~~=~&(98+2)^2
\\[2pt]~~=~&100^2
\\[2pt]~~=~&10000
\end{split}\)
©︎ 2024 教科書より詳しい中学数学 jhs.yorikuwa.com
問題解説：展開・因数分解と式の値
問題解説(1)
問題
\({\small (1)}~\)\(a=1.2\) のとき、
式 \(a(a-3)-(a-4)^2\) の値を求めよ。
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(a=1.2\) のとき、
式 \(a(a-3)-(a-4)^2\) の値を求めよ。
※ そのまま代入すると計算が大変になるので、式を計算して簡単にする。
式を展開すると、
\(a(a-3)\) は分配法則より、
\(\begin{split}&a(a-3)\\[2pt]~~=~&a\times a+a\times(-3)\\[2pt]~~=~&a^2-3a\end{split}\)
\((a-4)^2\) は乗法公式より、
\(\begin{split}&(a-4)^2\\[2pt]~~=~&a^2-2\times a \times 4+4^2\\[2pt]~~=~&a^2-8a+16\end{split}\)
これより、( ) を付けたまま展開すると、
\(\begin{split}&a(a-3)-(a-4)^2\\[2pt]~~=~&(a^2-3a)-(a^2-8a+16)\\[2pt]~~=~&a^2-3a-a^2+8a-16\\[2pt]~~=~&(a^2-a^2)+(-3a+8a)-16\\[2pt]~~=~&5a-16\end{split}\)
この式に \(a=1.2\) を代入すると、
\(\begin{split}~~=~&5\times 1.2-16\\[2pt]~~=~&6-16\\[2pt]~~=~&-10\end{split}\)
したがって、答えは \(-10\) となる。
問題解説(2)
問題
\({\small (2)}~\)\(x=18\) のとき、
式 \(x^2-6x-16\) の値を求めよ。
次の問いに答えよ。
\({\small (2)}~\)\(x=18\) のとき、
式 \(x^2-6x-16\) の値を求めよ。
※ そのまま代入すると計算が大変になるので、式を計算して簡単にする。
式を因数分解すると、
和が \(-6\) で積が \(16\) となる２つの数の \(2\) と \(-8\) を用いて、
\(\begin{split}&x^2-6x-16\\[2pt]~~=~&x^2+(2-8)x+2\times(-8)\\[2pt]~~=~&(x+2)(x-8)\end{split}\)
この式に \(x=18\) を代入すると、
\(\begin{split}~~=~&(18+2)(18-8)\end{split}\)
（ ）の中をそれぞれ計算すると、
\(18+2=20~,~18-8=10\) より、
\(\begin{split}~~=~&20\times10\\[2pt]~~=~&200\end{split}\)
したがって、答えは \(200\) となる。
問題解説(3)
問題
\({\small (3)}~\)\(a=6.8~,~b=3.2\) のとき、
式 \(a^2-b^2\) の値を求めよ。
次の問いに答えよ。
\({\small (3)}~\)\(a=6.8~,~b=3.2\) のとき、
式 \(a^2-b^2\) の値を求めよ。
※ そのまま代入すると計算が大変になるので、式を計算して簡単にする。
式を因数分解すると、
２乗 ー ２乗の因数分解の公式より、
\(\begin{split}&a^2-b^2\\[2pt]~~=~&(a+b)(a-b)\end{split}\)
この式に \(a=6.8~,~b=3.2\) を代入すると、
\(\begin{split}~~=~&(6.8+3.2)(6.8-3.2)\end{split}\)
（ ）の中をそれぞれ計算すると、
\(6.8+3.2=10~,~6.8-3.2=3.6\) より、
\(\begin{split}~~=~&10\times3.6\\[2pt]~~=~&36\end{split}\)
したがって、答えは \(36\) となる。
問題解説(4)
問題
\({\small (4)}~\)\(x=87~,~y=-13\) のとき、
式 \(x^2-2xy+y^2\) の値を求めよ。
次の問いに答えよ。
\({\small (4)}~\)\(x=87~,~y=-13\) のとき、
式 \(x^2-2xy+y^2\) の値を求めよ。
※ そのまま代入すると計算が大変になるので、式を計算して簡単にする。
式を因数分解すると、
因数分解の公式 \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) より、
\(\begin{split}&x^2+2x(-y)+(-y)^2\\[2pt]~~=~&(x-y)^2\end{split}\)
この式に \(x=87~,~y=-13\) を代入すると、
\(\begin{split}~~=~&\{87-(-13)\}^2\end{split}\)
（ ）の中を先に計算すると、
\(\begin{split}~~=~&(87+13)^2\\[2pt]~~=~&100^2\\[2pt]~~=~&10000\end{split}\)
したがって、答えは \(10000\) となる。
【問題一覧】中３｜展開と因数分解
このページは「中学数学３ 展開と因数分解」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからない...
jhs.yorikuwa.com
