今回の問題は「展開・因数分解と数の性質」です。
\(~~~\)数研出版 これからの数学３ p.35 問3~4
\(~~~\)東京書籍 新しい数学３ p.34 証明
\(~~~\)啓林館 未来へひろがる数学３ p.37 8
問題
\({\small (1)}~\)連続する３つの整数では、真ん中の数の２乗から小さい方の数と大きい方の数の積を引くと \(1\) となる。
\({\small (2)}~\)連続する２つの奇数では、大きい方の数の２乗から小さい方の数の２乗を引くと \(8\) の倍数となる。
\({\small (3)}~\)連続する２つの偶数の積に \(1\) を加えると、２つの偶数の間の奇数の２乗となる。
次のことを証明せよ。
\({\small (1)}~\)連続する３つの整数では、真ん中の数の２乗から小さい方の数と大きい方の数の積を引くと \(1\) となる。
\({\small (2)}~\)連続する２つの奇数では、大きい方の数の２乗から小さい方の数の２乗を引くと \(8\) の倍数となる。
\({\small (3)}~\)連続する２つの偶数の積に \(1\) を加えると、２つの偶数の間の奇数の２乗となる。
Point：展開・因数分解と数の性質
① 与えられた数を文字を使って表す。
整数 \(n\) を使って、
・連続する２つの整数 \(n~,~n+1\)
・連続する３つの整数 \(n~,~n+1~,~n+2\)
→\((~n-1~,~n~,~n+1~)\) でもよい
・連続する２つの偶数 \(2n~,~2n+2\)
・連続する２つの奇数 \(2n-1~,~2n+1\)
② 説明の文を式にする。
例えば、
「連続する２つの奇数の積に１を加える」
を式にすると、
\((2n-1)(2n+1)+1\)
③ 展開・因数分解を用いて計算する。
\(\begin{split}&(2n-1)(2n+1)+1\\[2pt]~~=~&(4n^2-1)+1\\[2pt]~~=~&4n^2\end{split}\)
④ 結論を書く。
→「したがって、◯◯となる」
数の性質の証明は、
① 与えられた数を文字を使って表す。
整数 \(n\) を使って、
・連続する２つの整数 \(n~,~n+1\)
・連続する３つの整数 \(n~,~n+1~,~n+2\)
→\((~n-1~,~n~,~n+1~)\) でもよい
・連続する２つの偶数 \(2n~,~2n+2\)
・連続する２つの奇数 \(2n-1~,~2n+1\)
② 説明の文を式にする。
例えば、
「連続する２つの奇数の積に１を加える」
を式にすると、
\((2n-1)(2n+1)+1\)
③ 展開・因数分解を用いて計算する。
\(\begin{split}&(2n-1)(2n+1)+1\\[2pt]~~=~&(4n^2-1)+1\\[2pt]~~=~&4n^2\end{split}\)
④ 結論を書く。
→「したがって、◯◯となる」
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