平方根の表し方の解法
Point：平方根の表し方
よって、正の数の平方根は２つあり、絶対値が同じ正の数と負の数である。
例えば、\(4\) の平方根は、
２乗すると \(4\) となる数より、
\(+2\) と \(-2\) の２つで、まとめて \(\pm2\) と表す。
※ \(0\) の平方根は \(0\) のだだ１つであり、負の数の平方根はない。
■ 根号を使った表し方
２乗して \(a\) となる数 \(x\) を表せないとき、
根号 √ (ルート)を使って、\(\pm\sqrt{a}\) と表す。
例えば、 \(5\) の平方根は、
２乗して \(5\) となる整数がないので、
\(5\) の平方根は \(\pm\sqrt{5}\) と表す。
ある数 \(a\) の平方根は、２乗すると \(a\) となる数 \(x\) を表し、\(x^2=a\) をなる。
よって、正の数の平方根は２つあり、絶対値が同じ正の数と負の数である。
例えば、\(4\) の平方根は、
２乗すると \(4\) となる数より、
\(+2\) と \(-2\) の２つで、まとめて \(\pm2\) と表す。
※ \(0\) の平方根は \(0\) のだだ１つであり、負の数の平方根はない。
■ 根号を使った表し方
２乗して \(a\) となる数 \(x\) を表せないとき、
根号 √ (ルート)を使って、\(\pm\sqrt{a}\) と表す。
例えば、 \(5\) の平方根は、
２乗して \(5\) となる整数がないので、
\(5\) の平方根は \(\pm\sqrt{5}\) と表す。
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問題解説：平方根の表し方
問題解説(1)
問題
① \(\begin{split}16\end{split}\) \(\hspace{7pt}\) ② \(\begin{split}49\end{split}\)
③ \(\begin{split}\frac{\, 25\,}{\,64 \,}\end{split}\) \(\hspace{0.5pt}\) ④ \(\begin{split}\frac{\,81 \,}{\,100 \,}\end{split}\)
⑤ \(\begin{split}0.09\end{split}\) ⑥ \(\begin{split}0.36\end{split}\)
\({\small (1)}~\)次の数の平方根を求めよ。
① \(\begin{split}16\end{split}\) \(\hspace{7pt}\) ② \(\begin{split}49\end{split}\)
③ \(\begin{split}\frac{\, 25\,}{\,64 \,}\end{split}\) \(\hspace{0.5pt}\) ④ \(\begin{split}\frac{\,81 \,}{\,100 \,}\end{split}\)
⑤ \(\begin{split}0.09\end{split}\) ⑥ \(\begin{split}0.36\end{split}\)
① \(\begin{split}16\end{split}\)
２乗して \(16\) となる数を考えて、
\(\begin{split}&4^2=16\\[2pt]~~~&\left(-4\right)^2=16\end{split}\)
したがって、答えは \(\pm4\) となる
② \(\begin{split}49\end{split}\)
２乗して \(49\) となる数を考えて、
\(\begin{split}&7^2=49\\[2pt]~~~&\left(-7\right)^2=49\end{split}\)
したがって、答えは \(\pm7\) となる
③ \(\begin{split}\frac{\, 25\,}{\,64 \,}\end{split}\)
２乗して \(\begin{split}{\frac{\,25\,}{\,64\,}}\end{split}\) となる数を考えて、
\(5^2=25~,~8^2=64\) であるので、
\(\begin{split}&\left(\frac{\,5 \,}{\,8 \,}\right)^2=\frac{\, 25\,}{\,64 \,}\\[3pt]~~~&\left(-\frac{\,5 \,}{\,8 \,}\right)^2=\frac{\, 25\,}{\,64 \,}\end{split}\)
したがって、答えは \(\begin{split}\pm{\frac{\,5\,}{\,8\,}}\end{split}\) となる
④ \(\begin{split}\frac{\,81 \,}{\,100 \,}\end{split}\)
２乗して \(\begin{split}{\frac{\,81\,}{\,100\,}}\end{split}\) となる数を考えて、
\(9^2=81~,~10^2=100\) であるので、
\(\begin{split}&\left(\frac{\,9 \,}{\,10 \,}\right)^2=\frac{\, 81\,}{\,100 \,}\\[3pt]~~~&\left(-\frac{\,9 \,}{\,10 \,}\right)^2=\frac{\, 81\,}{\,100 \,}\end{split}\)
したがって、答えは \(\begin{split}\pm{\frac{\,9\,}{\,10\,}}\end{split}\) となる
⑤ \(\begin{split}0.09\end{split}\)
２乗して \(0.09\) となる数を考えて、
\(\begin{split}&\left(0.3\right)^2=0.09\\[2pt]~~~&\left(-0.3\right)^2=0.09\end{split}\)
したがって、答えは \(\pm0.3\) となる
【別解】
分数で表すと、\(\begin{split}0.09=\frac{\, 9\,}{\,100 \,}\end{split}\)
２乗して \(\begin{split}{\frac{\,9\,}{\,100\,}}\end{split}\) となる数を考えて、
\(3^2=9~,~10^2=100\) であるので、
\(\begin{split}&\left(\frac{\,3 \,}{\,10 \,}\right)^2=\frac{\, 9\,}{\,100 \,}\\[3pt]~~~&\left(-\frac{\,3 \,}{\,10 \,}\right)^2=\frac{\, 9\,}{\,100 \,}\end{split}\)
よって、
\(\begin{split}~~~\pm\frac{\,3 \,}{\,10 \,}=\pm 0.3\end{split}\)
答えは、 \(\begin{split}\pm{\frac{\,3\,}{\,10\,}}=\pm0.3\end{split}\) となる
⑥ \(\begin{split}0.36\end{split}\)
２乗して \(0.36\) となる数を考えて、
\(\begin{split}&\left(0.6\right)^2=0.36\\[3pt]~~~&\left(-0.6\right)^2=0.36\end{split}\)
したがって、答えは \(\pm0.6\) となる
【別解】
分数で表すと、\(\begin{split}0.36=\frac{\, 36\,}{\,100 \,}\end{split}\)
２乗して \(\begin{split}{\frac{\,36\,}{\,100\,}}\end{split}\) となる数を考えて、
\(6^2=36~,~10^2=100\) であるので、
\(\begin{split}&\left(\frac{\,6 \,}{\,10 \,}\right)^2=\frac{\, 36\,}{\,100 \,}\\[2pt]~~~&\left(-\frac{\,6 \,}{\,10 \,}\right)^2=\frac{\, 36\,}{\,100 \,}\end{split}\)
よって、
\(\begin{split}~~~\pm\frac{\,6 \,}{\,10 \,}=\pm\frac{\,3 \,}{\, 5\,}=\pm0.6\end{split}\)
答えは、 \(\begin{split}\pm{\frac{\,3\,}{\,5\,}}=\pm 0.6\end{split}\) となる
問題解説(2)
問題
① \(\begin{split}10\end{split}\) ② \(\begin{split}0.14\end{split}\)
③ \(\begin{split}29\end{split}\) ④ \(\begin{split}0.4\end{split}\)
\({\small (2)}~\)根号を使って、次の数を平方根で表せ。
① \(\begin{split}10\end{split}\) ② \(\begin{split}0.14\end{split}\)
③ \(\begin{split}29\end{split}\) ④ \(\begin{split}0.4\end{split}\)
① \(\begin{split}10\end{split}\)
※ ２乗して \(10\) となる整数がない
ルート √ を使って表すと、
\(+\sqrt{10}\) と \(-\sqrt{10}\) の２つあるので、
答えは、 \(\pm\sqrt{10}\) となる
② \(\begin{split}0.14\end{split}\)
※ ２乗して \(0.14\) となる小数がない
ルート √ を使って表すと、
\(+\sqrt{0.14}\) と \(-\sqrt{0.14}\) の２つあるので、
答えは、 \(\pm\sqrt{0.14}\) となる
③ \(\begin{split}29\end{split}\)
※ ２乗して \(29\) となる整数がない
ルート √ を使って表すと、
\(+\sqrt{29}\) と \(-\sqrt{29}\) の２つあるので、
答えは、 \(\pm\sqrt{29}\) となる
④ \(\begin{split}0.4\end{split}\)
※ ２乗して \(0.4\) となる小数がない
ルート √ を使って表すと、
\(+\sqrt{0.4}\) と \(-\sqrt{0.4}\) の２つあるので、
答えは、 \(\pm\sqrt{0.4}\) となる
※ \(0.2\) は２乗すると \((0.2)^2=0.04\) となり \(0.4\) とならない。よって、答えは \(0.2\) でないことに注意！
【問題一覧】中３｜平方根
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