有理数と無理数の解法
Point：有理数と無理数
分数で表すことができる数を「有理数」という。
\(\begin{split}\,\frac{\,1\,}{\,2\,}~~,~~5=\frac{\,5\,}{\,1\,}~~,~~\sqrt{4}=2=\frac{\,2\,}{\,1\,}\end{split}\)
これらは有理数となる。
また、有理数の中の整数は、
正の整数＝自然数 \(~1~,~2~,~3~,~4~,~\cdots\)
ゼロ \(0\)
負の整数 \(~-1~,~-2~,~-3~,~-4~,~\cdots\)
に分けることができる。
■ 無理数
有理数でない数を「無理数」といい、分数で表すことができない。
\(\begin{split}\,\sqrt{2}~~,~~\sqrt{3}~~,~~2\sqrt{5}~~,~~\pi\end{split}\)
これらは無理数である。
■ 有理数
分数で表すことができる数を「有理数」という。
\(\begin{split}\,\frac{\,1\,}{\,2\,}~~,~~5=\frac{\,5\,}{\,1\,}~~,~~\sqrt{4}=2=\frac{\,2\,}{\,1\,}\end{split}\)
これらは有理数となる。
また、有理数の中の整数は、
正の整数＝自然数 \(~1~,~2~,~3~,~4~,~\cdots\)
ゼロ \(0\)
負の整数 \(~-1~,~-2~,~-3~,~-4~,~\cdots\)
に分けることができる。
■ 無理数
有理数でない数を「無理数」といい、分数で表すことができない。
\(\begin{split}\,\sqrt{2}~~,~~\sqrt{3}~~,~~2\sqrt{5}~~,~~\pi\end{split}\)
これらは無理数である。
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Point：有限小数と循環小数
整数でない有理数は小数で表すことができる。
さらに、「有限小数」と「循環小数(無限小数)」に分けることができる。
\(\begin{split}\,\frac{\,1\,}{\,2\,}=0.5~~,~~\frac{\,3\,}{\,25\,}=0.12\end{split}\)
これらは「有限小数」である。
\(\begin{split}&\frac{\,1\,}{\,3\,}=0.333\cdots=0.\dot{3}\\[3pt]~~~&\frac{\,8\,}{\,33\,}=0.2424\cdots=0.\dot{2}\dot{4}\\[3pt]~~~&\frac{\,41\,}{\,333\,}=0.123123\cdots=0.\dot{1}2\dot{3}\end{split}\)
これらは、「循環小数であり無限小数」である。
「循環する数」や「循環する始めと終わりの数」の上に・を付けて表すことができる。
■ 循環しない無限小数
無理数は循環しない無限小数であり、
\(\begin{split}&\sqrt{2}=1.4142\cdots\\[2pt]~~~&\pi=3.1415\cdots\end{split}\)
これらは、無限に続く規則性のない小数となる。
■ 有限小数と循環小数
整数でない有理数は小数で表すことができる。
さらに、「有限小数」と「循環小数(無限小数)」に分けることができる。
\(\begin{split}\,\frac{\,1\,}{\,2\,}=0.5~~,~~\frac{\,3\,}{\,25\,}=0.12\end{split}\)
これらは「有限小数」である。
\(\begin{split}&\frac{\,1\,}{\,3\,}=0.333\cdots=0.\dot{3}\\[3pt]~~~&\frac{\,8\,}{\,33\,}=0.2424\cdots=0.\dot{2}\dot{4}\\[3pt]~~~&\frac{\,41\,}{\,333\,}=0.123123\cdots=0.\dot{1}2\dot{3}\end{split}\)
これらは、「循環小数であり無限小数」である。
「循環する数」や「循環する始めと終わりの数」の上に・を付けて表すことができる。
■ 循環しない無限小数
無理数は循環しない無限小数であり、
\(\begin{split}&\sqrt{2}=1.4142\cdots\\[2pt]~~~&\pi=3.1415\cdots\end{split}\)
これらは、無限に続く規則性のない小数となる。
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問題解説：有理数と無理数
問題解説(1)
問題
\(\begin{split}&7~,~\sqrt{16}~,~0.75~,~\frac{\,1\,}{\,3\,}~,~3\sqrt{2}~,~-\sqrt{3}~,~\pi\\[4pt]~&-\sqrt{9}~,~-\sqrt{0.04}~,~\sqrt{\frac{\,25\,}{\,81\,}}~,~0.\dot{6}~,~0.\dot{1}\dot{2}\end{split}\)
\({\small (1)}~\)有理数
次の数について、(1)〜(6)にあてはまる数をすべて答えよ。
\(\begin{split}&7~,~\sqrt{16}~,~0.75~,~\frac{\,1\,}{\,3\,}~,~3\sqrt{2}~,~-\sqrt{3}~,~\pi\\[4pt]~&-\sqrt{9}~,~-\sqrt{0.04}~,~\sqrt{\frac{\,25\,}{\,81\,}}~,~0.\dot{6}~,~0.\dot{1}\dot{2}\end{split}\)
\({\small (1)}~\)有理数
分数で表すことができる数が有理数である
それぞれの数は、
\(\begin{split}\,7=\frac{\,7\,}{\,1\,}\end{split}\)
→分数にできる＝有理数
\(\begin{split}\,\sqrt{16}=4=\frac{\,4\,}{\,1\,}\end{split}\)
→分数にできる＝有理数
\(\begin{split}\,0.75=\frac{\,75\,}{\,100\,}=\frac{\,3\,}{\,4\,}\end{split}\)
→分数にできる＝有理数
\(\begin{split}\,\frac{\,1\,}{\,3\,}\end{split}\)
→分数にできる＝有理数
\(\begin{split}\,3\sqrt{2}=3\times 1.414\cdots\end{split}\)
→分数にできない
\(\begin{split}\,-\sqrt{3}=-1.732\cdots\end{split}\)
→分数にできない
\(\begin{split}\,-\sqrt{9}=-3=-\frac{\,3\,}{\,1\,}\end{split}\)
→分数にできる＝有理数
\(\begin{split}\,\pi=3.1415\cdots\end{split}\)
→分数にできない
\(\begin{split}\,-\sqrt{0.04}=-\sqrt{\left(0.2\right)^2}=-0.2=-\frac{\,1\,}{\,5\,}\end{split}\)
→分数にできる＝有理数
\(\begin{split}\,\sqrt{\frac{\,25\,}{\,81\,}}=\sqrt{\frac{\,5^2\,}{\,9^2\,}}=\frac{\,5\,}{\,9\,}\end{split}\)
→分数にできる＝有理数
\(\begin{split}\,0.\dot{6}=0.666\cdots\end{split}\)
→循環する無限小数＝有理数
\(\begin{split}\,0.\dot{1}\dot{2}=0.1212\cdots\end{split}\)
→循環する無限小数＝有理数
したがって、答えは
\(\begin{split}&7~,~\sqrt{16}~,~0.75~,~\frac{\,1\,}{\,3\,}~,~-\sqrt{9}\\[5pt]~~~&-\sqrt{0.04}~,~\sqrt{\frac{\,25\,}{\,81\,}}~,~0.\dot{6}~,~0.\dot{1}\dot{2}\end{split}\)
となる
問題解説(2)
問題
\(\begin{split}&7~,~\sqrt{16}~,~0.75~,~\frac{\,1\,}{\,3\,}~,~3\sqrt{2}~,~-\sqrt{3}~,~\pi\\[4pt]~&-\sqrt{9}~,~-\sqrt{0.04}~,~\sqrt{\frac{\,25\,}{\,81\,}}~,~0.\dot{6}~,~0.\dot{1}\dot{2}\end{split}\)
\({\small (2)}~\)無理数
次の数について、(1)〜(6)にあてはまる数をすべて答えよ。
\(\begin{split}&7~,~\sqrt{16}~,~0.75~,~\frac{\,1\,}{\,3\,}~,~3\sqrt{2}~,~-\sqrt{3}~,~\pi\\[4pt]~&-\sqrt{9}~,~-\sqrt{0.04}~,~\sqrt{\frac{\,25\,}{\,81\,}}~,~0.\dot{6}~,~0.\dot{1}\dot{2}\end{split}\)
\({\small (2)}~\)無理数
有理数でない数が無理数である
(1)より、分数にできない数は、
\(\begin{split}\,3\sqrt{2}=3\times 1.414\cdots\end{split}\)
\(\begin{split}\,-\sqrt{3}=-1.732\cdots\end{split}\)
\(\begin{split}\,\pi=3.1415\cdots\end{split}\)
したがって、答えは
\(\begin{split}\,3\sqrt{2}~,~-\sqrt{3}~,~\pi\end{split}\)
となる
問題解説(3)
問題
\(\begin{split}&7~,~\sqrt{16}~,~0.75~,~\frac{\,1\,}{\,3\,}~,~3\sqrt{2}~,~-\sqrt{3}~,~\pi\\[4pt]~&-\sqrt{9}~,~-\sqrt{0.04}~,~\sqrt{\frac{\,25\,}{\,81\,}}~,~0.\dot{6}~,~0.\dot{1}\dot{2}\end{split}\)
\({\small (3)}~\)自然数
次の数について、(1)〜(6)にあてはまる数をすべて答えよ。
\(\begin{split}&7~,~\sqrt{16}~,~0.75~,~\frac{\,1\,}{\,3\,}~,~3\sqrt{2}~,~-\sqrt{3}~,~\pi\\[4pt]~&-\sqrt{9}~,~-\sqrt{0.04}~,~\sqrt{\frac{\,25\,}{\,81\,}}~,~0.\dot{6}~,~0.\dot{1}\dot{2}\end{split}\)
\({\small (3)}~\)自然数
正の整数が自然数である
(1)より、正の整数は、
\(\begin{split}\,7=\frac{\,7\,}{\,1\,}\end{split}\) 正の整数＝自然数である
\(\begin{split}\,\sqrt{16}=4=\frac{\,4\,}{\,1\,}\end{split}\) 正の整数＝自然数である
したがって、答えは
\(\begin{split}\,7~,~\sqrt{16}\end{split}\)
である
問題解説(4)
問題
\(\begin{split}&7~,~\sqrt{16}~,~0.75~,~\frac{\,1\,}{\,3\,}~,~3\sqrt{2}~,~-\sqrt{3}~,~\pi\\[4pt]~&-\sqrt{9}~,~-\sqrt{0.04}~,~\sqrt{\frac{\,25\,}{\,81\,}}~,~0.\dot{6}~,~0.\dot{1}\dot{2}\end{split}\)
\({\small (4)}~\)有限小数
次の数について、(1)〜(6)にあてはまる数をすべて答えよ。
\(\begin{split}&7~,~\sqrt{16}~,~0.75~,~\frac{\,1\,}{\,3\,}~,~3\sqrt{2}~,~-\sqrt{3}~,~\pi\\[4pt]~&-\sqrt{9}~,~-\sqrt{0.04}~,~\sqrt{\frac{\,25\,}{\,81\,}}~,~0.\dot{6}~,~0.\dot{1}\dot{2}\end{split}\)
\({\small (4)}~\)有限小数
(1)より、小数となるものは、
\(\begin{split}\,0.75\end{split}\)
→有限小数である
\(\begin{split}\,\frac{\,1\,}{\,3\,}=0.333\cdots\end{split}\)
→無限小数である
\(\begin{split}\,3\sqrt{2}=3\times 1.414\cdots\end{split}\)
→無限小数である
\(\begin{split}\,-\sqrt{3}=-1.732\cdots\end{split}\)
→無限小数である
\(\begin{split}\,\pi=3.1415\cdots\end{split}\)
→無限小数である
\(\begin{split}\,-\sqrt{0.04}=-\sqrt{\left(0.2\right)^2}=-0.2\end{split}\)
→有限小数である
\(\begin{split}\,\sqrt{\frac{\,25\,}{\,81\,}}=\sqrt{\frac{\,5^2\,}{\,9^2\,}}=\frac{\,5\,}{\,9\,}=0.555\cdots\end{split}\)
→無限小数である
\(\begin{split}\,0.\dot{6}=0.666\cdots\end{split}\)
→無限小数である
\(\begin{split}\,0.\dot{1}\dot{2}=0.1212\cdots\end{split}\)
→無限小数である
したがって、答えは
\(\begin{split}\,0.75~,~-\sqrt{0.04}\end{split}\)
となる
問題解説(5)
問題
\(\begin{split}&7~,~\sqrt{16}~,~0.75~,~\frac{\,1\,}{\,3\,}~,~3\sqrt{2}~,~-\sqrt{3}~,~\pi\\[4pt]~&-\sqrt{9}~,~-\sqrt{0.04}~,~\sqrt{\frac{\,25\,}{\,81\,}}~,~0.\dot{6}~,~0.\dot{1}\dot{2}\end{split}\)
\({\small (5)}~\)無限小数
次の数について、(1)〜(6)にあてはまる数をすべて答えよ。
\(\begin{split}&7~,~\sqrt{16}~,~0.75~,~\frac{\,1\,}{\,3\,}~,~3\sqrt{2}~,~-\sqrt{3}~,~\pi\\[4pt]~&-\sqrt{9}~,~-\sqrt{0.04}~,~\sqrt{\frac{\,25\,}{\,81\,}}~,~0.\dot{6}~,~0.\dot{1}\dot{2}\end{split}\)
\({\small (5)}~\)無限小数
(4)より、有限小数でないものが無限小数となるので、
\(\begin{split}\,\frac{\,1\,}{\,3\,}=0.333\cdots\end{split}\)
\(\begin{split}\,3\sqrt{2}=3\times 1.414\cdots\end{split}\)
\(\begin{split}\,-\sqrt{3}=-1.732\cdots\end{split}\)
\(\begin{split}\,\pi=3.1415\cdots\end{split}\)
\(\begin{split}\,\sqrt{\frac{\,25\,}{\,81\,}}=\sqrt{\frac{\,5^2\,}{\,9^2\,}}=\frac{\,5\,}{\,9\,}=0.555\cdots\end{split}\)
\(\begin{split}\,0.\dot{6}=0.666\cdots\end{split}\)
\(\begin{split}\,0.\dot{1}\dot{2}=0.1212\cdots\end{split}\)
したがって、答えは
\(\begin{split}&\frac{\,1\,}{\,3\,}~,~3\sqrt{2}~,~-\sqrt{3}\\[2pt]~~~&\pi~,~\sqrt{\frac{\,25\,}{\,81\,}}~,~0.\dot{6}~,~0.\dot{1}\dot{2}\end{split}\)
となる
問題解説(6)
問題
\(\begin{split}&7~,~\sqrt{16}~,~0.75~,~\frac{\,1\,}{\,3\,}~,~3\sqrt{2}~,~-\sqrt{3}~,~\pi\\[4pt]~&-\sqrt{9}~,~-\sqrt{0.04}~,~\sqrt{\frac{\,25\,}{\,81\,}}~,~0.\dot{6}~,~0.\dot{1}\dot{2}\end{split}\)
\({\small (6)}~\)循環小数
次の数について、(1)〜(6)にあてはまる数をすべて答えよ。
\(\begin{split}&7~,~\sqrt{16}~,~0.75~,~\frac{\,1\,}{\,3\,}~,~3\sqrt{2}~,~-\sqrt{3}~,~\pi\\[4pt]~&-\sqrt{9}~,~-\sqrt{0.04}~,~\sqrt{\frac{\,25\,}{\,81\,}}~,~0.\dot{6}~,~0.\dot{1}\dot{2}\end{split}\)
\({\small (6)}~\)循環小数
(5)より、小数部分が規則的に循環している小数が循環小数となる
\(\begin{split}\,\frac{\,1\,}{\,3\,}=0.333\cdots\end{split}\)
→循環している
\(\begin{split}\,3\sqrt{2}=3\times 1.414\cdots\end{split}\)
→循環していない
\(\begin{split}\,-\sqrt{3}=-1.732\cdots\end{split}\)
→循環していない
\(\begin{split}\,\pi=3.1415\cdots\end{split}\)
→循環していない
\(\begin{split}\,\sqrt{\frac{\,25\,}{\,81\,}}=\sqrt{\frac{\,5^2\,}{\,9^2\,}}=\frac{\,5\,}{\,9\,}=0.555\cdots\end{split}\)
→循環している
\(\begin{split}\,0.\dot{6}=0.666\cdots\end{split}\)
→循環している
\(\begin{split}\,0.\dot{1}\dot{2}=0.1212\cdots\end{split}\)
→循環している
したがって、答えは
\(\begin{split}\,\frac{\,1\,}{\,3\,}~,~\sqrt{\frac{\,25\,}{\,81\,}}~,~0.\dot{6}~,~0.\dot{1}\dot{2}\end{split}\)
となる
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