平方根の加法・減法

Point：根号を含む式の加法・減法

平方根の加法・減法の計算方法は、

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① ルートの中の数を簡単にする。

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　\(\begin{split}&\sqrt{12}+7\sqrt{3}
\\[2pt]~~=~&\sqrt{2^2{\, \small \times \,}3}+7\sqrt{3}
\\[2pt]~~=~&2\sqrt{3}+7\sqrt{3}
\end{split}\)

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② 同じ数のルートを文字として考えて、同類項をまとめるときと同じように計算する。

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　\(2a+7a\) と同じように考える。

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　\(\begin{split}~~=~&(2+7)\sqrt{3}
\\[2pt]~~=~&9\sqrt{3}
\end{split}\)

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※ \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) などは、これ以上は計算できないので注意！

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問題

次の計算をせよ。

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\(\begin{split}{\small (1)}~3\sqrt{2}+4\sqrt{2}\end{split}\)

\(\sqrt{2}\) を文字として考えてまとめると、

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\(\begin{split}&3\sqrt{2}+4\sqrt{2}\\[2pt]~~=~&(3+4)\sqrt{2}\\[2pt]~~=~&7\sqrt{2}\end{split}\)

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したがって、答えは \(7\sqrt{2}\) となる

問題

次の計算をせよ。

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\(\begin{split}{\small (2)}~\sqrt{5}-7\sqrt{5}\end{split}\)

\(\sqrt{5}\) を文字として考えてまとめると、

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\(\begin{split}&\sqrt{5}-7\sqrt{5}\\[2pt]~~=~&(1-7)\sqrt{5}\\[2pt]~~=~&-6\sqrt{5}\end{split}\)

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したがって、答えは \(-6\sqrt{5}\) となる

問題

次の計算をせよ。

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\(\begin{split}{\small (3)}~\sqrt{12}+\sqrt{27}-7\sqrt{3}\end{split}\)

ルートの中の数を簡単にすると、
\(12=2^2{\, \small \times \,}3~,~27=3^3\) より、

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\(\begin{split}&\sqrt{12}+\sqrt{27}-7\sqrt{3}\\[2pt]~~=~&\sqrt{2^2{\, \small \times \,}3}+\sqrt{3^2{\, \small \times \,}3}-7\sqrt{3}\\[2pt]~~=~&\sqrt{2^2}{\, \small \times \,}\sqrt{3}+\sqrt{3^2}{\, \small \times \,}\sqrt{3}-7\sqrt{3}\\[2pt]~~=~&2\sqrt{3}+3\sqrt{3}-7\sqrt{3}\end{split}\)

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\(\sqrt{3}\) を文字として考えてまとめると、

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\(\begin{split}~~=~&(2+3-7)\sqrt{3}\\[2pt]~~=~&-2\sqrt{3}\end{split}\)

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したがって、答えは \(-2\sqrt{3}\) となる

問題

次の計算をせよ。

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\(\begin{split}{\small (4)}~\sqrt{45}-\sqrt{20}+4\sqrt{3}\end{split}\)

ルートの中の数を簡単にすると、
\(45=3^2{\, \small \times \,}5~,~20=2^2{\, \small \times \,}5\) より、

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\(\begin{split}&\sqrt{45}-\sqrt{20}+4\sqrt{3}\\[2pt]~~=~&\sqrt{3^2{\, \small \times \,}5}-\sqrt{2^2{\, \small \times \,}5}+4\sqrt{3}\\[2pt]~~=~&\sqrt{3^2}{\, \small \times \,}\sqrt{5}-\sqrt{2^2}{\, \small \times \,}\sqrt{5}+4\sqrt{3}\\[2pt]~~=~&3\sqrt{5}-2\sqrt{5}+4\sqrt{3}\end{split}\)

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\(\sqrt{5}\) を文字として考えてまとめると、

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\(\begin{split}~~=~&(3-2)\sqrt{5}+4\sqrt{3}\\[2pt]~~=~&\sqrt{5}+4\sqrt{3}\end{split}\)

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※ これ以上は計算できない。

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したがって、答えは \(\sqrt{5}+4\sqrt{3}\) となる

問題

次の計算をせよ。

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\(\begin{split}{\small (5)}~\sqrt{50}+5-\sqrt{18}-3\end{split}\)

ルートの中の数を簡単にすると、
\(50=5^2{\, \small \times \,}2~,~18=3^2{\, \small \times \,}2\) より、

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\(\begin{split}&\sqrt{50}+5-\sqrt{18}-3\\[2pt]~~=~&\sqrt{5^2{\, \small \times \,}2}+5-\sqrt{3^2{\, \small \times \,}2}-3\\[2pt]~~=~&\sqrt{5^2}{\, \small \times \,}\sqrt{2}+5-\sqrt{3^2}{\, \small \times \,}\sqrt{2}-3\\[2pt]~~=~&5\sqrt{2}+5-3\sqrt{2}-3\end{split}\)

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\(\sqrt{2}\) を文字として考えてまとめると、

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\(\begin{split}~~=~&5\sqrt{2}-3\sqrt{2}+5-3\\[2pt]~~=~&(5-3)\sqrt{2}+5-3\\[2pt]~~=~&2\sqrt{2}+2\end{split}\)

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したがって、答えは \(2\sqrt{2}+2\) となる

問題

次の計算をせよ。

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\(\begin{split}{\small (6)}~\sqrt{28}-\sqrt{24}+\sqrt{54}-5\sqrt{7}\end{split}\)

ルートの中の数を簡単にすると、
\(28=2^2{\, \small \times \,}7~,~24=2^2{\, \small \times \,}6\)\(~,~54=3^2{\, \small \times \,}6\) より、

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\(\begin{split}&\sqrt{28}-\sqrt{24}+\sqrt{54}-5\sqrt{7}\\[2pt]~~=~&\sqrt{2^2{\, \small \times \,}7}-\sqrt{2^2{\, \small \times \,}6}\\[2pt]~~~&~\hspace{45pt}~+\sqrt{3^2{\, \small \times \,}6}-5\sqrt{7}\\[2pt]~~=~&\sqrt{2^2}{\, \small \times \,}\sqrt{7}-\sqrt{2^2}{\, \small \times \,}\sqrt{6}\\[2pt]~~~&~\hspace{45pt}~+\sqrt{3^2}{\, \small \times \,}\sqrt{6}-5\sqrt{7}
\\[2pt]~~=~&2\sqrt{7}-2\sqrt{6}+3\sqrt{6}-5\sqrt{7}\end{split}\)

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\(\sqrt{7}\) と \(\sqrt{6}\) を文字として考えて、それぞれまとめると、

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\(\begin{split}~~=~&2\sqrt{7}-5\sqrt{7}-2\sqrt{6}+3\sqrt{6}\\[2pt]~~=~&(2-5)\sqrt{7}+(-2+3)\sqrt{6}\\[2pt]~~=~&-3\sqrt{7}+\sqrt{6}\end{split}\)

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したがって、答えは \(-3\sqrt{7}+\sqrt{6}\) となる