分母の有理化と加法・減法の解法
Point：分母の有理化と加法・減法
① 分母の有理化とルートの中の数を簡単にする。
\(\begin{split}&\sqrt{98}-\frac{\,6\,}{\,\sqrt{2}\,}
\\[3pt]~~=~&\sqrt{7^2{\, \small \times \,}2}-\frac{\,6\,}{\,\sqrt{2}\,}{\, \small \times \,}\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{2}\,}
\\[3pt]~~=~&7\sqrt{2}-\frac{\,6\sqrt{2}\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~=~&7\sqrt{2}-3\sqrt{2}
\end{split}\)
② 同じ数のルートを文字として考えてまとめる。
\(\begin{split}~~=~&(7-3)\sqrt{2}
\\[2pt]~~=~&4\sqrt{2}
\end{split}\)
分母の有理化の必要な加法・減法の計算方法は、
① 分母の有理化とルートの中の数を簡単にする。
\(\begin{split}&\sqrt{98}-\frac{\,6\,}{\,\sqrt{2}\,}
\\[3pt]~~=~&\sqrt{7^2{\, \small \times \,}2}-\frac{\,6\,}{\,\sqrt{2}\,}{\, \small \times \,}\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{2}\,}
\\[3pt]~~=~&7\sqrt{2}-\frac{\,6\sqrt{2}\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~=~&7\sqrt{2}-3\sqrt{2}
\end{split}\)
② 同じ数のルートを文字として考えてまとめる。
\(\begin{split}~~=~&(7-3)\sqrt{2}
\\[2pt]~~=~&4\sqrt{2}
\end{split}\)
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問題解説：分母の有理化と加法・減法
問題解説(1)
問題
\(\begin{split}{\small (1)}~\frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}\,}+\sqrt{20}\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (1)}~\frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}\,}+\sqrt{20}\end{split}\)
分母の有理化とルートの中の数を簡単にすると、
分数の分母分子に \(\sqrt{5}\) を掛け算して、
\(20=2^2{\, \small \times \,}5\) より、
\(\begin{split}&\frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}\,}+\sqrt{20}\\[3pt]~~=~&\frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}\,}{\, \small \times \,}\frac{\,\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{5}\,}+\sqrt{2^2{\, \small \times \,}5}\\[3pt]~~=~&\frac{\,1{\, \small \times \,}\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{5}{\, \small \times \,}\sqrt{5}\,}+2\sqrt{5}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{5}\,}{\,5\,}+2\sqrt{5}\end{split}\)
\(\sqrt{5}\) を文字として考えてまとめると、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,1\,}{\,5\,}\sqrt{5}+2\sqrt{5}\\[3pt]~~=~&\left(\frac{\,1\,}{\,5\,}+2\right)\sqrt{5}\end{split}\)
( ) の中を計算すると、※ 分母 \(5\) で通分する。
\(\begin{split}~~=~&\left(\frac{\,1\,}{\,5\,}+\frac{\,10\,}{\,5\,}\right)\sqrt{5}\\[3pt]~~=~&\frac{\,11\,}{\,5\,}\sqrt{5}~~~~~\left(=\frac{\,11\sqrt{5}\,}{\,5\,}\right)\end{split}\)
したがって、答えは \(\begin{split}{\frac{\,11\,}{\,5\,}}\sqrt{5}\end{split}\) となる
問題解説(2)
問題
\(\begin{split}{\small (2)}~\frac{\,6\,}{\,\sqrt{3}\,}-\sqrt{75}\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (2)}~\frac{\,6\,}{\,\sqrt{3}\,}-\sqrt{75}\end{split}\)
分母の有理化とルートの中の数を簡単にすると、
分数の分母分子に \(\sqrt{3}\) を掛け算して、
\(75=5^2{\, \small \times \,}3\) より、
\(\begin{split}&\frac{\,6\,}{\,\sqrt{3}\,}-\sqrt{75}\\[3pt]~~=~&\frac{\,6\,}{\,\sqrt{3}\,}{\, \small \times \,}\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{3}\,}-\sqrt{5^2{\, \small \times \,}3}\\[3pt]~~=~&\frac{\,6{\, \small \times \,}\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{3}{\, \small \times \,}\sqrt{3}\,}-5\sqrt{3}\\[3pt]~~=~&\frac{\,6\sqrt{3}\,}{\,3\,}-5\sqrt{3}\end{split}\)
約分すると、
\(\require{cancel} \begin{split}~~=~&\frac{\,\cancel{6}^{2}{\, \small \times \,}\sqrt{3}\,}{\,\cancel{3}^{1}\,}-5\sqrt{3}\\[3pt]~~=~&2\sqrt{3}-5\sqrt{3}\end{split}\)
\(\sqrt{3}\) を文字として考えてまとめると、
\(\begin{split}~~=~&(2-5)\sqrt{3}
\\[2pt]~~=~&-3\sqrt{3}
\end{split}\)
したがって、答えは \(-3\sqrt{3}\) となる
問題解説(3)
問題
\(\begin{split}{\small (3)}~\sqrt{\frac{\,3\,}{\,8\,}}-\frac{\,2\,}{\,\sqrt{6}\,}\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (3)}~\sqrt{\frac{\,3\,}{\,8\,}}-\frac{\,2\,}{\,\sqrt{6}\,}\end{split}\)
分数のルートを分母分子に分けて、ルートの中の数を簡単にすると、
\(\begin{split}&\sqrt{\frac{\,3\,}{\,8\,}}-\frac{\,2\,}{\,\sqrt{6}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{8}\,}-\frac{\,2\,}{\,\sqrt{6}\,}\end{split}\)
\(8=2^2{\, \small \times \,}2\) より、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\sqrt{2}\,}-\frac{\,2\,}{\,\sqrt{6}\,}\end{split}\)
それぞれ分母を有理化をすると、
左の項は \(\sqrt{2}\) を、右の項は \(\sqrt{6}\) をそれぞれ分母分子に掛け算して、
\(\begin{split}&\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\sqrt{2}\,}{\, \small \times \,}\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{2}\,}-\frac{\,2\,}{\,\sqrt{6}\,}{\, \small \times \,}\frac{\,\sqrt{6}\,}{\,\sqrt{6}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{3}{\, \small \times \,}\sqrt{2}\,}{\,2\sqrt{2}{\, \small \times \,}\sqrt{2}\,}-\frac{\,2{\, \small \times \,}\sqrt{6}\,}{\,\sqrt{6}{\, \small \times \,}\sqrt{6}\,}\end{split}\)
\(\sqrt{2}{\, \small \times \,}\sqrt{2}=2~,~\sqrt{6}{\, \small \times \,}\sqrt{6}=6\) より、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,\sqrt{6}\,}{\,2{\, \small \times \,}2\,}-\frac{\,2\sqrt{6}\,}{\,6\,}\end{split}\)
約分すると、
\(\require{cancel} \begin{split}~~=~&\frac{\,\sqrt{6}\,}{\,4\,}-\frac{\,\cancel{2}^{1}{\, \small \times \,}\sqrt{6}\,}{\,\cancel{6}^{3}\,}\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{6}\,}{\,4\,}-\frac{\,\sqrt{6}\,}{\,3\,}\end{split}\)
\(\sqrt{6}\) を文字として考えてまとめると、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,1\,}{\,4\,}\sqrt{6}-\frac{\,1\,}{\,3\,}\sqrt{6}\\[3pt]~~=~&\left(\frac{\,1\,}{\,4\,}-\frac{\,1\,}{\,3\,}\right)\sqrt{6}\end{split}\)
( ) の中を計算すると、※ 分母 \(12\) で通分する。
\(\begin{split}~~=~&\left(\frac{\,1{\, \small \times \,}3\,}{\,4{\, \small \times \,}3\,}-\frac{\,1{\, \small \times \,}4\,}{\,3{\, \small \times \,}4\,}\right)\sqrt{6}\\[3pt]~~=~&\left(\frac{\,3\,}{\,12\,}-\frac{\,4\,}{\,12\,}\right)\sqrt{6}\\[3pt]~~=~&-\frac{\,1\,}{\,12\,}\sqrt{6}~~~~~\left(=-\frac{\,\sqrt{6}\,}{\,12\,}\right)\end{split}\)
したがって、答えは \(\begin{split}-{\frac{\,1\,}{\,12\,}}\sqrt{6}\end{split}\) となる
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