根号を含むいろいろな計算の解法
Point：根号を含むいろいろな計算
① ルートの中の数を簡単にできるときは、先に計算しておく。
\(\begin{split}&\sqrt{8}+\sqrt{3}{\, \small \times \,}\sqrt{6}
\\[2pt]~~=~&2\sqrt{2}+\sqrt{3}{\, \small \times \,}\sqrt{6}
\end{split}\)
② 掛け算・割り算を先に計算して、足し算・引き算を計算する。
\(\begin{split}~~=~&2\sqrt{2}+\sqrt{3{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}3}
\\[2pt]~~=~&2\sqrt{2}+3\sqrt{2}
\\[2pt]~~=~&5\sqrt{2}
\end{split}\)
■ ( ) を含む計算
( ) の中をこれ以上計算できない場合は、分配法則を使って ( ) を外して計算する。
\(\begin{split}&\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{6})\\[2pt]~~=~&\sqrt{2}{\, \small \times \,}\sqrt{3}+\sqrt{2}{\, \small \times \,}\sqrt{6}\\[2pt]~~=~&\sqrt{6}+\sqrt{12}\\[2pt]~~=~&\sqrt{6}+2\sqrt{3}\end{split}\)
■ 根号を含むいろいろな計算
① ルートの中の数を簡単にできるときは、先に計算しておく。
\(\begin{split}&\sqrt{8}+\sqrt{3}{\, \small \times \,}\sqrt{6}
\\[2pt]~~=~&2\sqrt{2}+\sqrt{3}{\, \small \times \,}\sqrt{6}
\end{split}\)
② 掛け算・割り算を先に計算して、足し算・引き算を計算する。
\(\begin{split}~~=~&2\sqrt{2}+\sqrt{3{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}3}
\\[2pt]~~=~&2\sqrt{2}+3\sqrt{2}
\\[2pt]~~=~&5\sqrt{2}
\end{split}\)
■ ( ) を含む計算
( ) の中をこれ以上計算できない場合は、分配法則を使って ( ) を外して計算する。
\(\begin{split}&\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{6})\\[2pt]~~=~&\sqrt{2}{\, \small \times \,}\sqrt{3}+\sqrt{2}{\, \small \times \,}\sqrt{6}\\[2pt]~~=~&\sqrt{6}+\sqrt{12}\\[2pt]~~=~&\sqrt{6}+2\sqrt{3}\end{split}\)
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問題解説：根号を含むいろいろな計算
問題解説(1)
問題
\(\begin{split}{\small (1)}~\sqrt{18}-\sqrt{6}{\, \small \times \,}\sqrt{12}\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (1)}~\sqrt{18}-\sqrt{6}{\, \small \times \,}\sqrt{12}\end{split}\)
ルートの中の掛け算をすると、
\(\begin{split}&\sqrt{18}-\sqrt{6}{\, \small \times \,}\sqrt{12}\\[2pt]~~=~&\sqrt{18}-\sqrt{6{\, \small \times \,}12}\\[2pt]~~=~&\sqrt{18}-\sqrt{72}\end{split}\)
ルートの中の数を簡単にすると、
\(18=2{\, \small \times \,}3^2~,~72=2{\, \small \times \,}6^2\) より、
\(\begin{split}~~=~&\sqrt{3^2{\, \small \times \,}2}-\sqrt{6^2{\, \small \times \,}2}\\[2pt]~~=~&3\sqrt{2}-6\sqrt{2}\end{split}\)
\(\sqrt{2}\) を文字として考えてまとめると、
\(\begin{split}~~=~&(3-6)\sqrt{2}\\[2pt]~~=~&-3\sqrt{2}\end{split}\)
したがって、答えは \(-3\sqrt{2}\) となる
問題解説(2)
問題
\(\begin{split}{\small (2)}~2\sqrt{35}{\, \small \div \,}\sqrt{28}+\sqrt{45}\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (2)}~2\sqrt{35}{\, \small \div \,}\sqrt{28}+\sqrt{45}\end{split}\)
ルートの中の数を簡単にすると、
\(28=2^2{\, \small \times \,}7~,~45=3^2{\, \small \times \,}5\) より、
\(\begin{split}&2\sqrt{35}{\, \small \div \,}\sqrt{28}+\sqrt{45}\\[2pt]~~=~&2\sqrt{35}{\, \small \div \,}\sqrt{2^2{\, \small \times \,}7}+\sqrt{3^2{\, \small \times \,}5}\\[2pt]~~=~&2\sqrt{35}{\, \small \div \,}2\sqrt{7}+3\sqrt{5}\end{split}\)
割り算を分数として先に計算すると、
\(\begin{split}~~=~&\frac{\,2\sqrt{35}\,}{\,2\sqrt{7}\,}+3\sqrt{5}\end{split}\)
ルートの中と外それぞれで約分すると、
\(\require{cancel} \begin{split}~~=~&\frac{\,\cancel{2}^{1}{\, \small \times \,}\sqrt{\cancel{35}^{5}}\,}{\,\cancel{2}^{1}{\, \small \times \,}\sqrt{\cancel{7}^{1}}\,}+3\sqrt{5}\\[3pt]~~=~&\sqrt{5}+3\sqrt{5}\end{split}\)
\(\sqrt{5}\) を文字として考えてまとめると、
\(\begin{split}~~=~&(1+3)\sqrt{5}\\[2pt]~~=~&4\sqrt{5}\end{split}\)
したがって、答えは \(4\sqrt{5}\) となる
問題解説(3)
問題
\(\begin{split}{\small (3)}~\sqrt{3}(\sqrt{6}+\sqrt{12})\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (3)}~\sqrt{3}(\sqrt{6}+\sqrt{12})\end{split}\)
分配法則を使うと、
\(\begin{split}&\sqrt{3}(\sqrt{6}+\sqrt{12})\\[2pt]~~=~&\sqrt{3}{\, \small \times \,}\sqrt{6}+\sqrt{3}{\, \small \times \,}\sqrt{12}\\[2pt]~~=~&\sqrt{3{\, \small \times \,}6}+\sqrt{3{\, \small \times \,}12}\\[2pt]~~=~&\sqrt{18}+\sqrt{36}\end{split}\)
ルートの中の数を簡単にすると、
\(18=2{\, \small \times \,}3^2~,~36=6^2\) より、
\(\begin{split}~~=~&\sqrt{3^2{\, \small \times \,}2}+\sqrt{6^2}\\[2pt]~~=~&3\sqrt{2}+6\end{split}\)
したがって、答えは \(3\sqrt{2}+6\) となる
問題解説(4)
問題
\(\begin{split}{\small (4)}~(\sqrt{18}-4\sqrt{3}){\, \small \div \,}\sqrt{2}\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (4)}~(\sqrt{18}-4\sqrt{3}){\, \small \div \,}\sqrt{2}\end{split}\)
分配法則を使うと、
\(\begin{split}&(\sqrt{18}-4\sqrt{3}){\, \small \div \,}\sqrt{2}
\\[2pt]~~=~&\sqrt{18}{\, \small \div \,}\sqrt{2}-4\sqrt{3}{\, \small \div \,}\sqrt{2}
\end{split}\)
割り算を分数で表し、約分すると、
\(\require{cancel} \begin{split}~~=~&\frac{\,\sqrt{18}\,}{\,\sqrt{2}\,}-\frac{\,4\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{2}\,}
\\[3pt]~~=~&\frac{\,\sqrt{\cancel{18}^{9}}\,}{\,\sqrt{\cancel{2}^{1}}\,}-\frac{\,4\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{2}\,}\\[3pt]~~=~&\sqrt{9}-\frac{\,4\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{2}\,}\\[3pt]~~=~&3-\frac{\,4\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{2}\,}\end{split}\)
分母の有理化をすると、
右の項の分母分子に \(\sqrt{2}\) を掛け算して、
\(\begin{split}~~=~&3-\frac{\,4\sqrt{3}\,}{\,\sqrt{2}\,}{\, \small \times \,}\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{2}\,}\\[3pt]~~=~&3-\frac{\,4\sqrt{3{\, \small \times \,}2}\,}{\,\sqrt{2{\, \small \times \,}2}\,}\\[3pt]~~=~&3-\frac{\,4\sqrt{6}\,}{\,2\,}\end{split}\)
約分すると、
\(\require{cancel} \begin{split}~~=~&3-\frac{\,\cancel{4}^{2}{\, \small \times \,}\sqrt{6}\,}{\,\cancel{2}^{1}\,}\\[3pt]~~=~&3-2\sqrt{6}\end{split}\)
したがって、答えは \(3-2\sqrt{6}\) となる
問題解説(5)
問題
\(\begin{split}{\small (5)}~(\sqrt{3}+\sqrt{5})(1-\sqrt{15})\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (5)}~(\sqrt{3}+\sqrt{5})(1-\sqrt{15})\end{split}\)
(※ ルートの中の数はこれ以上簡単にできない。)
( ) の中はこれ以上計算できないので、
分配法則を使うと、
\(\begin{split}&(\sqrt{3}+\sqrt{5})(1-\sqrt{15})\\[2pt]~~=~&\sqrt{3}{\, \small \times \,}1+\sqrt{3}{\, \small \times \,}(-\sqrt{15})\\[2pt]~~~&~~~~~~~~~~~~+\sqrt{5}{\, \small \times \,}1+\sqrt{5}{\, \small \times \,}(-\sqrt{15})\\[2pt]~~=~&\sqrt{3}-\sqrt{3{\, \small \times \,}15}+\sqrt{5}-\sqrt{5{\, \small \times \,}15}\\[2pt]~~=~&\sqrt{3}-\sqrt{45}+\sqrt{5}-\sqrt{75}\end{split}\)
ルートの中の数を簡単にすると、
\(45=3^2{\, \small \times \,}5~,~75=5^2{\, \small \times \,}3\) より、
\(\begin{split}~~=~&\sqrt{3}-\sqrt{3^2{\, \small \times \,}5}+\sqrt{5}-\sqrt{5^2{\, \small \times \,}3}\\[2pt]~~=~&\sqrt{3}-3\sqrt{5}+\sqrt{5}-5\sqrt{3}\end{split}\)
\(\sqrt{3}\) と \(\sqrt{5}\) をそれぞれ文字と考えてまとめると、
\(\begin{split}~~=~&\sqrt{3}-5\sqrt{3}-3\sqrt{5}+\sqrt{5}\\[2pt]~~=~&(1-5)\sqrt{3}+(-3+1)\sqrt{5}\\[2pt]~~=~&-4\sqrt{3}-2\sqrt{5}\end{split}\)
したがって、答えは \(-4\sqrt{3}-2\sqrt{5}\) となる
問題解説(6)
問題
\(\begin{split}{\small (6)}~(\sqrt{28}+\sqrt{2})(3\sqrt{2}-\sqrt{7})\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (6)}~(\sqrt{28}+\sqrt{2})(3\sqrt{2}-\sqrt{7})\end{split}\)
ルートの中の数を簡単にすると、
\(28=2^2{\, \small \times \,}7\) より、
\(\begin{split}&(\sqrt{28}+\sqrt{2})(3\sqrt{2}-\sqrt{7})\\[2pt]~~=~&(\sqrt{2^2{\, \small \times \,}7}+\sqrt{2})(3\sqrt{2}-\sqrt{7})\\[2pt]~~=~&(2\sqrt{7}+\sqrt{2})(3\sqrt{2}-\sqrt{7})\end{split}\)
( ) の中もこれ以上計算できないので、分配法則を使うと、
\(\begin{split}~~=~&2\sqrt{7}{\, \small \times \,}3\sqrt{2}+2\sqrt{7}{\, \small \times \,}(-\sqrt{7})\\[2pt]~~~&~~~~~~~~~~~~+\sqrt{2}{\, \small \times \,}3\sqrt{2}+\sqrt{2}{\, \small \times \,}(-\sqrt{7})\\[2pt]~~=~&2{\, \small \times \,}3{\, \small \times \,}\sqrt{7{\, \small \times \,}2}-2\sqrt{7{\, \small \times \,}7}\\[2pt]~~~&~~~~~~~~~~~~+3\sqrt{2{\, \small \times \,}2}-\sqrt{2{\, \small \times \,}7}\\[2pt]~~=~&6\sqrt{14}-2{\, \small \times \,}7+3{\, \small \times \,}2-\sqrt{14}\\[2pt]~~=~&6\sqrt{14}-14+6-\sqrt{14}\end{split}\)
\(\sqrt{14}\) を文字と考えてまとめると、
\(\begin{split}~~=~&6\sqrt{14}-\sqrt{14}-14+6\\[2pt]~~=~&(6-1)\sqrt{14}-14+6\\[2pt]~~=~&5\sqrt{14}-8\end{split}\)
したがって、答えは \(5\sqrt{14}-8\) となる
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