乗法公式と平方根の計算の解法
Point：乗法公式と平方根の計算
① ルートの数を文字として考えて、乗法公式を使って展開する。
■ 乗法公式
\(\begin{split}(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\end{split}\)
\(\begin{split}(x+a)^2=x^2+2ax+a^2\end{split}\)
\(\begin{split}(x+a)(x-a)=x^2-a^2\end{split}\)
② ルートの中の数が簡単にできるか確認する。
③ 同類項をまとめる。
例えば、
\(\begin{split}&\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2
\\[2pt]~~=~&\left(\sqrt{6}\right)^2+2{\, \small \times \,}\sqrt{6}{\, \small \times \,}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^2
\\[2pt]~~=~&6+2\sqrt{12}+2
\\[2pt]~~=~&(6+2)+2{\, \small \times \,}2\sqrt{3}
\\[2pt]~~=~&8+4\sqrt{3}
\end{split}\)
乗法公式を使ったと平方根の計算方法は、
① ルートの数を文字として考えて、乗法公式を使って展開する。
■ 乗法公式
\(\begin{split}(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\end{split}\)
\(\begin{split}(x+a)^2=x^2+2ax+a^2\end{split}\)
\(\begin{split}(x+a)(x-a)=x^2-a^2\end{split}\)
② ルートの中の数が簡単にできるか確認する。
③ 同類項をまとめる。
例えば、
\(\begin{split}&\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2
\\[2pt]~~=~&\left(\sqrt{6}\right)^2+2{\, \small \times \,}\sqrt{6}{\, \small \times \,}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^2
\\[2pt]~~=~&6+2\sqrt{12}+2
\\[2pt]~~=~&(6+2)+2{\, \small \times \,}2\sqrt{3}
\\[2pt]~~=~&8+4\sqrt{3}
\end{split}\)
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問題解説：乗法公式と平方根の計算
問題解説(1)
問題
\(\begin{split}{\small (1)}~\left(\sqrt{7}-3\right)\left(\sqrt{7}+5\right)\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (1)}~\left(\sqrt{7}-3\right)\left(\sqrt{7}+5\right)\end{split}\)
\(\sqrt{7}\) を文字として考えて、乗法公式を使うと、
※ \(x^2+\)和\(x+\)積 の形
\(\begin{split}&\left(\sqrt{7}-3\right)\left(\sqrt{7}+5\right)\\[2pt]~~=~&\left(\sqrt{7}\right)^2+(-3+5)\sqrt{7}-3{\, \small \times \,}5\\[2pt]~~=~&7+2\sqrt{7}-15\end{split}\)
定数項をまとめて計算すると、
\(\begin{split}~~=~&7-15+2\sqrt{7}\\[2pt]~~=~&-8+2\sqrt{7}\end{split}\)
したがって、答えは \(-8+2\sqrt{7}\) となる
問題解説(2)
問題
\(\begin{split}{\small (2)}~\left(\sqrt{3}-2\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (2)}~\left(\sqrt{3}-2\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\end{split}\)
\(\sqrt{3}\) を文字として考えて、乗法公式を使うと、
※ \(x^2+\)和\(x+\)積 の形
\(\begin{split}&\left(\sqrt{3}-2\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\\[2pt]~~=~&\left(\sqrt{3}\right)^2+\left(-2\sqrt{2}+\sqrt{2}\right)\sqrt{3}-2\sqrt{2}{\, \small \times \,}\sqrt{2}\\[2pt]~~=~&3-\sqrt{2}{\, \small \times \,}\sqrt{3}-2{\, \small \times \,}2\\[2pt]~~=~&3-\sqrt{6}-4\end{split}\)
定数項をまとめて計算すると、
\(\begin{split}~~=~&(3-4)-\sqrt{6}\\[2pt]~~=~&-1-\sqrt{6}\end{split}\)
したがって、答えは \(-1-\sqrt{6}\) となる
問題解説(3)
問題
\(\begin{split}{\small (3)}~\left(\sqrt{5}+2\right)^2\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (3)}~\left(\sqrt{5}+2\right)^2\end{split}\)
\(\sqrt{5}\) を文字として考えて、乗法公式を使うと、
※ \(x^2+\)２倍\(x+\)２乗 の形
\(\begin{split}&\left(\sqrt{5}+2\right)^2\\[2pt]~~=~&\left(\sqrt{5}\right)^2+2{\, \small \times \,}2{\, \small \times \,}\sqrt{5}+2^2\\[2pt]~~=~&5+4\sqrt{5}+4\end{split}\)
定数項をまとめて計算すると、
\(\begin{split}~~=~&(5+4)+4\sqrt{5}\\[2pt]~~=~&9+4\sqrt{5}\end{split}\)
したがって、答えは \(9+4\sqrt{5}\) となる
問題解説(4)
問題
\(\begin{split}{\small (4)}~\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)^2\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (4)}~\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)^2\end{split}\)
\(\sqrt{6}\) と \(\sqrt{3}\) を文字として考えて、乗法公式を使うと、
※ \(x^2+\)２倍\(x+\)２乗 の形
\(\begin{split}&\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)^2\\[2pt]~~=~&\left(\sqrt{6}\right)^2+2{\, \small \times \,}\sqrt{6}{\, \small \times \,}(-\sqrt{3})+\left(-\sqrt{3}\right)^2\\[2pt]~~=~&6-2\sqrt{18}+3\end{split}\)
定数項をまとめて計算し、ルートの中の数を簡単にすると、
\(18=2{\, \small \times \,}3^2\) より、
\(\begin{split}~~=~&(6+3)-2\sqrt{3^2{\, \small \times \,}2}\\[2pt]~~=~&9-2{\, \small \times \,}3\sqrt{2}\\[2pt]~~=~&9-6\sqrt{2}\end{split}\)
したがって、答えは \(9-6\sqrt{2}\) となる
問題解説(5)
問題
\(\begin{split}{\small (5)}~\left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}-2\right)\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (5)}~\left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}-2\right)\end{split}\)
\(\sqrt{3}\) を文字として考えて、乗法公式を使うと、
※ ２乗ー２乗 の形
\(\begin{split}&\left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}-2\right)\\[2pt]~~=~&\left(\sqrt{3}\right)^2-2^2\\[2pt]~~=~&3-4\\[2pt]~~=~&-1\end{split}\)
したがって、答えは \(-1\) となる
問題解説(6)
問題
\(\begin{split}{\small (6)}~\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\end{split}\)
次の計算をせよ。
\(\begin{split}{\small (6)}~\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\end{split}\)
\(\sqrt{7}\) と \(\sqrt{5}\) を文字として考えて、乗法公式を使うと、
※ ２乗ー２乗 の形
\(\begin{split}&\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\\[2pt]~~=~&\left(\sqrt{7}\right)^2-\left(\sqrt{5}\right)^2\\[2pt]~~=~&7-5\\[2pt]~~=~&2\end{split}\)
したがって、答えは \(2\) となる
【問題一覧】中３｜平方根
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