平方根と自然数の解法
Point：平方根と自然数
① ルートの中の数を素因数分解し、簡単にする。
\(\begin{split}~~~~~\sqrt{18a}=\sqrt{3^2\times2\times a}=3\sqrt{2a}\end{split}\)
② ルートの中が２乗の形になるような \(a\) で最小のものを考える。
\(\sqrt{2a}\) でルートの中が２乗の形になるのは、
\(a=2\) で、\(\sqrt{2^2}=2\) となる。
※ \(a=8\) でも \(\sqrt{2\times8}=\sqrt{4^2}\) となるが
最小ではない。
■ \(\sqrt{10-a}\) が整数となる自然数 \(a\) は？
① ルートの中の数は正で、２乗の形になるような値を調べる。
\(\begin{split}~~~~~1^2=1~,~2^2=4~,~3^2=9\end{split}\)
② ルートの中の数がそれぞれの値になるような \(a\) の値を求める。
\(\begin{split}\sqrt{1}=1\end{split}\) より、\(\begin{split}10-a=1~\Leftrightarrow~a=9\end{split}\)
\(\begin{split}\sqrt{4}=2\end{split}\) より、\(\begin{split}10-a=4~\Leftrightarrow~a=6\end{split}\)
\(\begin{split}\sqrt{9}=3\end{split}\) より、\(\begin{split}10-a=9~\Leftrightarrow~a=1\end{split}\)
よって、\(a=1~,~6~,~9\) となる。
■ \(\sqrt{18a}\) が整数となる最小の自然数 \(a\) は？
① ルートの中の数を素因数分解し、簡単にする。
\(\begin{split}~~~~~\sqrt{18a}=\sqrt{3^2\times2\times a}=3\sqrt{2a}\end{split}\)
② ルートの中が２乗の形になるような \(a\) で最小のものを考える。
\(\sqrt{2a}\) でルートの中が２乗の形になるのは、
\(a=2\) で、\(\sqrt{2^2}=2\) となる。
※ \(a=8\) でも \(\sqrt{2\times8}=\sqrt{4^2}\) となるが
最小ではない。
■ \(\sqrt{10-a}\) が整数となる自然数 \(a\) は？
① ルートの中の数は正で、２乗の形になるような値を調べる。
\(\begin{split}~~~~~1^2=1~,~2^2=4~,~3^2=9\end{split}\)
② ルートの中の数がそれぞれの値になるような \(a\) の値を求める。
\(\begin{split}\sqrt{1}=1\end{split}\) より、\(\begin{split}10-a=1~\Leftrightarrow~a=9\end{split}\)
\(\begin{split}\sqrt{4}=2\end{split}\) より、\(\begin{split}10-a=4~\Leftrightarrow~a=6\end{split}\)
\(\begin{split}\sqrt{9}=3\end{split}\) より、\(\begin{split}10-a=9~\Leftrightarrow~a=1\end{split}\)
よって、\(a=1~,~6~,~9\) となる。
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問題解説：平方根と自然数
問題解説(1)
問題
\({\small (1)}~\)次の値が整数となるような自然数 \(a\) のうち、もっとも小さな値を求めよ。また、そのときの整数を求めよ。
① \(\begin{split}\sqrt{12a}\end{split}\) ② \(\begin{split}\sqrt{40a}\end{split}\)
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)次の値が整数となるような自然数 \(a\) のうち、もっとも小さな値を求めよ。また、そのときの整数を求めよ。
① \(\begin{split}\sqrt{12a}\end{split}\) ② \(\begin{split}\sqrt{40a}\end{split}\)
① \(\begin{split}\sqrt{12a}\end{split}\)
ルートの中の数を素因数分解し、簡単にすると、
\(12=2^2\times3\) より、
\(\begin{split}~~~~~\sqrt{12a}=\sqrt{2^2\times3\times a}=2\sqrt{3a}\end{split}\)
ルートの中が２乗の形になるような \(a\) で最小のものは、
\(\sqrt{3\times3}=3\) のときで \(a=3\) である
また、\(a=3\) のとき、
\(\begin{split}~~~~~\sqrt{12\times3}=\sqrt{36}=\sqrt{6^2}=6\end{split}\)
したがって、答えは \(a=3\) 、整数 \(6\) となる
② \(\begin{split}\sqrt{40a}\end{split}\)
ルートの中の数を素因数分解し、簡単にすると、
\(40=2^2\times10\) より、
\(\begin{split}~~~~~\sqrt{40a}=\sqrt{2^2\times10\times a}=2\sqrt{10a}\end{split}\)
ルートの中が２乗の形になるような \(a\) で最小のものは、
\(\sqrt{10\times10}=10\) のときで \(a=10\) である
また、\(a=10\) のとき、
\(\begin{split}~~~~~\sqrt{40\times10}=\sqrt{400}=\sqrt{20^2}=20\end{split}\)
したがって、答えは \(a=10\) 、整数 \(20\) となる
問題解説(2)
問題
\({\small (2)}~\)次の値が整数となるような \(a\) の値をすべて求めよ。
① \(\begin{split}\sqrt{20-a}\end{split}\) ② \(\begin{split}\sqrt{41-a}\end{split}\)
次の問いに答えよ。
\({\small (2)}~\)次の値が整数となるような \(a\) の値をすべて求めよ。
① \(\begin{split}\sqrt{20-a}\end{split}\) ② \(\begin{split}\sqrt{41-a}\end{split}\)
① \(\begin{split}\sqrt{20-a}\end{split}\)
ルートの中は正となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~~~20-a&>&0\\[2pt]~~~-a&> &-20\\[2pt]~~~a&<&20\end{eqnarray}\)
これを満たす２乗の数を書き出すと、
\(\begin{split}~~~~~1^2=1~,~2^2=4~,~3^2=9~,~4^2=16\end{split}\)
\(\sqrt{20-a}\) のルートの中がこれらの数になればよいので、
\(\begin{split}\sqrt{1}=1\end{split}\) より、\(\begin{split}20-a=1~\Leftrightarrow~a=19\end{split}\)
\(\begin{split}\sqrt{4}=2\end{split}\) より、\(\begin{split}20-a=4~\Leftrightarrow~a=16\end{split}\)
\(\begin{split}\sqrt{9}=3\end{split}\) より、\(\begin{split}20-a=9~\Leftrightarrow~a=11\end{split}\)
\(\begin{split}\sqrt{16}=4\end{split}\) より、\(\begin{split}20-a=16~\Leftrightarrow~a=4\end{split}\)
したがって、答えは \(a=4~,~11~,~16~,~19\) となる
② \(\begin{split}\sqrt{41-a}\end{split}\)
ルートの中は正となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~~~41-a&>&0\\[2pt]~~~-a&> &-41\\[2pt]~~~a&<&41\end{eqnarray}\)
これを満たす２乗の数を書き出すと、
\(\begin{split}&1^2=1~,~2^2=4~,~3^2=9\\[2pt]~~~~~&4^2=16~,~5^2=25~,~6^2=36\end{split}\)
\(\sqrt{41-a}\) のルートの中がこれらの数になればよいので、
\(\begin{split}\sqrt{1}=1\end{split}\) より、\(\begin{split}41-a=1~\Leftrightarrow~a=40\end{split}\)
\(\begin{split}\sqrt{4}=2\end{split}\) より、\(\begin{split}41-a=4~\Leftrightarrow~a=37\end{split}\)
\(\begin{split}\sqrt{9}=3\end{split}\) より、\(\begin{split}41-a=9~\Leftrightarrow~a=32\end{split}\)
\(\begin{split}\sqrt{16}=4\end{split}\) より、\(\begin{split}41-a=16~\Leftrightarrow~a=25\end{split}\)
\(\begin{split}\sqrt{25}=5\end{split}\) より、\(\begin{split}41-a=25~\Leftrightarrow~a=16\end{split}\)
\(\begin{split}\sqrt{36}=6\end{split}\) より、\(\begin{split}41-a=36~\Leftrightarrow~a=5\end{split}\)
したがって、
答えは \(a=5~,~16~,~25~,~32~,~37~,~40\) となる
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