２次方程式と動く点

Point：２次方程式と動く点

１辺 \(10~{\rm cm}\) の正方形ABCDを点Pは点B→点Aを毎秒 \(1~{\rm cm}\)、点Qは点B→点Cを毎秒 \(2~{\rm cm}\) で進むとき、△PBQの面積が \(9~{\rm cm}^2\) となるのは、

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① \(x\) 秒後の点Pと点Qを図にかく。

② 面積の条件から、２次方程式を立てる。

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　△PBQの面積が \(9~{\rm cm}^2\) であるので、

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　\(\begin{split}~~~ \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,} x{\, \small \times \,} 2x=9\end{split}\)

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③ ２次方程式を解く。

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④ 解が問題に適していることを確認する。

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問題

図のような正方形 \({\rm ABCD}\) がある。
点 \({\rm P}\) は点 \({\rm A}\) を出発して辺 \({\rm AB}\) を秒速 \(2~{\rm cm}\) で点 \({\rm B}\) まで動く。また、点 \({\rm Q}\) は点 \({\rm P}\) と同時に点 \({\rm B}\) を出発して辺 \({\rm BC}\) を秒速 \(1~{\rm cm}\) で点 \({\rm C}\) まで動く。このとき、\(\triangle {\rm PBQ}\) の面積が \(5~{\rm cm}^2\) になるのは点 \({\rm P~,~Q}\) が出発して何秒後か答えよ。

\(x\) 秒後は、

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　点 \({\rm P}\) は点 \({\rm A}\) から \(2x~{\rm cm}\)
　点 \({\rm Q}\) は点 \({\rm B}\) から \(x~{\rm cm}\)

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動いているので、

ここで、\({\rm PB=AB-AP}\) より、

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　\(\begin{split}~~~12-2x~{\rm cm}\end{split}\)

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\(\triangle {\rm ABC}\) の面積が \(5~{\rm cm}^2\) であることより、

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　\(\begin{split}~~~ \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,} x{\, \small \times \,} (12-2x)=5\end{split}\)

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この２次方程式を解くと、

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\(\begin{eqnarray}~~~\frac{\,1\,}{\,2\,}x(12-2x)&=&5\\[3pt]~~~6x-x^2&=&5\\[2pt]~~~-x^2+6x-5&=&0\\[2pt]~~~x^2-6x+5&=&0\\[2pt]~~~(x-1)(x-5)&=&0\\[2pt]~~~x&=&1~,~5\end{eqnarray}\)

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点 \({\rm P}\) の動く範囲より、

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　\(\begin{eqnarray}~~~0≦\,&2x&≦12\\[2pt]~~~0≦\,&x&≦6\end{eqnarray}\)

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これより、\(x=1~,~5\) はともに問題に適している

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したがって、答えは
　\(1\) 秒後と \(5\) 秒後 となる