関数y=ax²の式の解法
Point：関数y=ax²の式
例えば、\(y\) が \(x\) の２乗に比例し、\(x=2\) のとき \(y=8\) であるとき、
\(y=ax^2\) に \(x=2~,~y=8\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~8&=&a{\, \small \times \,} 2^2\\[2pt]~~~4a&=&8\\[2pt]~~~a&=&2\end{eqnarray}\)
よって、\(y=2x^2\) となる
また、\(x=-3\) のときの \(y\) の値は、
\(\begin{split}~~~y=2{\, \small \times \,}(-3)^2=2{\, \small \times \,}9=18\end{split}\)
\(y\) が \(x\) の２乗に比例するとき、\(y=ax^2\) と表されることより、
対応する \(x\) と \(y\) の値を代入することで、比例定数 \(a\) を求めて \(y=ax^2\) の式を求める。
例えば、\(y\) が \(x\) の２乗に比例し、\(x=2\) のとき \(y=8\) であるとき、
\(y=ax^2\) に \(x=2~,~y=8\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~8&=&a{\, \small \times \,} 2^2\\[2pt]~~~4a&=&8\\[2pt]~~~a&=&2\end{eqnarray}\)
よって、\(y=2x^2\) となる
また、\(x=-3\) のときの \(y\) の値は、
\(\begin{split}~~~y=2{\, \small \times \,}(-3)^2=2{\, \small \times \,}9=18\end{split}\)
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問題解説：関数y=ax²の式
問題解説(1)
問題
\({\small (1)}~\)\(y\) が \(x\) の２乗に比例し、\(x=2\) のとき \(y=12\) である。このとき \(y\) を \(x\) の式で表せ。また、\(x=-3\) のとき \(y\) の値を求めよ。
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(y\) が \(x\) の２乗に比例し、\(x=2\) のとき \(y=12\) である。このとき \(y\) を \(x\) の式で表せ。また、\(x=-3\) のとき \(y\) の値を求めよ。
\(y\) が \(x\) の２乗に比例するので、
\(y=ax^2\) の式に \(x=2~,~y=12\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{16pt}~~~12&=&a{\, \small \times \,} 2^2\\[2pt]~~~12&=&4a\end{eqnarray}\)
両辺を入れかえて、両辺を \(4\) でわると、
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}~~~4a&=&12\\[3pt]~~~\frac{\,4a\,}{\,4\,}&=&\frac{\,12\,}{\,4\,}\\[3pt]~~~\frac{\,\cancel{4}^{1}a\,}{\,\cancel{4}^{1}\,}&=&\frac{\,\cancel{12}^{3}\,}{\,\cancel{4}^{1}\,}\\[3pt]~~~a&=&3\end{eqnarray}\)
よって、\(\begin{split}y=3x^2\end{split}\) となる
また、\(x=-3\) に代入すると、
\(\begin{split}~~~y=3{\, \small \times \,}(-3)^2=3{\, \small \times \,}9=27\end{split}\)
したがって、
\(y\) を \(x\) の式で表すと、\(\begin{split}y=3x^2\end{split}\)
\(x=-3\) のときの \(y\) の値は、\(\begin{split}y=27\end{split}\) となる
問題解説(2)
問題
\({\small (2)}~\)\(y\) が \(x\) の２乗に比例し、\(x=2\) のとき \(y=2\) である。このとき \(y\) を \(x\) の式で表せ。また、\(x=6\) のとき \(y\) の値を求めよ。
次の問いに答えよ。
\({\small (2)}~\)\(y\) が \(x\) の２乗に比例し、\(x=2\) のとき \(y=2\) である。このとき \(y\) を \(x\) の式で表せ。また、\(x=6\) のとき \(y\) の値を求めよ。
\(y\) が \(x\) の２乗に比例するので、
\(y=ax^2\) の式に \(x=2~,~y=2\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{20pt}~~~2&=&a{\, \small \times \,} 2^2\\[2pt]~~~2&=&4a\end{eqnarray}\)
両辺を入れかえて、両辺を \(4\) でわると、
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}~~~4a&=&2\\[3pt]~~~\frac{\,4a\,}{\,4\,}&=&\frac{\,2\,}{\,4\,}\\[3pt]~~~\frac{\,\cancel{4}^{1}a\,}{\,\cancel{4}^{1}\,}&=&\frac{\,\cancel{2}^{1}\,}{\,\cancel{4}^{2}\,}\\[3pt]~~~a&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(\begin{split}y=\frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\end{split}\) となる
また、\(x=6\) に代入すると、
\(\begin{split}~~~y=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}6^2=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}36=18\end{split}\)
したがって、
\(y\) を \(x\) の式で表すと、\(\begin{split}y=\frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\end{split}\)
\(x=6\) のときの \(y\) の値は、\(\begin{split}y=18\end{split}\) となる
問題解説(3)
問題
\({\small (3)}~\)\(y\) が \(x\) の２乗に比例し、\(x=3\) のとき \(y=-45\) である。このとき \(y\) を \(x\) の式で表せ。また、\(x=-2\) のとき \(y\) の値を求めよ。
次の問いに答えよ。
\({\small (3)}~\)\(y\) が \(x\) の２乗に比例し、\(x=3\) のとき \(y=-45\) である。このとき \(y\) を \(x\) の式で表せ。また、\(x=-2\) のとき \(y\) の値を求めよ。
\(y\) が \(x\) の２乗に比例するので、
\(y=ax^2\) の式に \(x=3~,~y=-45\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{5pt}~~~-45&=&a{\, \small \times \,} 3^2\\[2pt]~~~-45&=&9a\end{eqnarray}\)
両辺を入れかえて、両辺を \(9\) でわると、
\(\require{cancel} \begin{eqnarray}~~~9a&=&-45\\[3pt]~~~\frac{\,9a\,}{\,9\,}&=&\frac{\,-45\,}{\,9\,}\\[3pt]~~~\frac{\,\cancel{9}^{1}a\,}{\,\cancel{9}^{1}\,}&=&-\frac{\,\cancel{45}^{5}\,}{\,\cancel{9}^{1}\,}\\[3pt]~~~a&=&-5\end{eqnarray}\)
よって、\(\begin{split}y=-5x^2\end{split}\) となる
また、\(x=-2\) に代入すると、
\(\begin{split}~~~y=-5{\, \small \times \,}(-2)^2=-5{\, \small \times \,}4=-20\end{split}\)
したがって、
\(y\) を \(x\) の式で表すと、\(\begin{split}y=-5x^2\end{split}\)
\(x=-2\) のときの \(y\) の値は、\(\begin{split}y=-20\end{split}\) となる
【問題一覧】中３｜関数y=ax²
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