関数y=ax²の式

Point：関数y=ax²の式

$y$ が $x$ の２乗に比例するとき、$y=ax^2$ と表されることより、
対応する $x$ と $y$ の値を代入することで、比例定数 $a$ を求めて $y=ax^2$ の式を求める。

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例えば、$y$ が $x$ の２乗に比例し、$x=2$ のとき $y=8$ であるとき、

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　$y=ax^2$ に $x=2~,~y=8$ を代入すると、

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　$\begin{eqnarray}~~~8&=&a{\, \small \times \,} 2^2\\[2pt]~~~4a&=&8\\[2pt]~~~a&=&2\end{eqnarray}$

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　よって、$y=2x^2$ となる

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　また、$x=-3$ のときの $y$ の値は、

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$\begin{split}~~~y=2{\, \small \times \,}(-3)^2=2{\, \small \times \,}9=18\end{split}$

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問題

次の問いに答えよ。

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${\small (1)}~$$y$ が $x$ の２乗に比例し、$x=2$ のとき $y=12$ である。このとき $y$ を $x$ の式で表せ。また、$x=-3$ のとき $y$ の値を求めよ。

$y$ が $x$ の２乗に比例するので、

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$y=ax^2$ の式に $x=2~,~y=12$ に代入すると、

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$\begin{eqnarray}\hspace{16pt}~~~12&=&a{\, \small \times \,} 2^2\\[2pt]~~~12&=&4a\end{eqnarray}$

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両辺を入れかえて、両辺を $4$ でわると、

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$\require{cancel} \begin{eqnarray}~~~4a&=&12\\[3pt]~~~\frac{\,4a\,}{\,4\,}&=&\frac{\,12\,}{\,4\,}\\[3pt]~~~\frac{\,\cancel{4}^{1}a\,}{\,\cancel{4}^{1}\,}&=&\frac{\,\cancel{12}^{3}\,}{\,\cancel{4}^{1}\,}\\[3pt]~~~a&=&3\end{eqnarray}$

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よって、$\begin{split}y=3x^2\end{split}$ となる

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また、$x=-3$ に代入すると、

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$\begin{split}~~~y=3{\, \small \times \,}(-3)^2=3{\, \small \times \,}9=27\end{split}$

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したがって、
　$y$ を $x$ の式で表すと、$\begin{split}y=3x^2\end{split}$

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　$x=-3$ のときの $y$ の値は、$\begin{split}y=27\end{split}$ となる

問題

次の問いに答えよ。

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${\small (2)}~$$y$ が $x$ の２乗に比例し、$x=2$ のとき $y=2$ である。このとき $y$ を $x$ の式で表せ。また、$x=6$ のとき $y$ の値を求めよ。

$y$ が $x$ の２乗に比例するので、

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$y=ax^2$ の式に $x=2~,~y=2$ に代入すると、

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$\begin{eqnarray}\hspace{20pt}~~~2&=&a{\, \small \times \,} 2^2\\[2pt]~~~2&=&4a\end{eqnarray}$

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両辺を入れかえて、両辺を $4$ でわると、

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$\require{cancel} \begin{eqnarray}~~~4a&=&2\\[3pt]~~~\frac{\,4a\,}{\,4\,}&=&\frac{\,2\,}{\,4\,}\\[3pt]~~~\frac{\,\cancel{4}^{1}a\,}{\,\cancel{4}^{1}\,}&=&\frac{\,\cancel{2}^{1}\,}{\,\cancel{4}^{2}\,}\\[3pt]~~~a&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}$

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よって、$\begin{split}y=\frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\end{split}$ となる

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また、$x=6$ に代入すると、

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$\begin{split}~~~y=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}6^2=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}36=18\end{split}$

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したがって、
　$y$ を $x$ の式で表すと、$\begin{split}y=\frac{\,1\,}{\,2\,}x^2\end{split}$

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　$x=6$ のときの $y$ の値は、$\begin{split}y=18\end{split}$ となる

問題

次の問いに答えよ。

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${\small (3)}~$$y$ が $x$ の２乗に比例し、$x=3$ のとき $y=-45$ である。このとき $y$ を $x$ の式で表せ。また、$x=-2$ のとき $y$ の値を求めよ。

$y$ が $x$ の２乗に比例するので、

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$y=ax^2$ の式に $x=3~,~y=-45$ に代入すると、

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$\begin{eqnarray}\hspace{5pt}~~~-45&=&a{\, \small \times \,} 3^2\\[2pt]~~~-45&=&9a\end{eqnarray}$

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両辺を入れかえて、両辺を $9$ でわると、

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$\require{cancel} \begin{eqnarray}~~~9a&=&-45\\[3pt]~~~\frac{\,9a\,}{\,9\,}&=&\frac{\,-45\,}{\,9\,}\\[3pt]~~~\frac{\,\cancel{9}^{1}a\,}{\,\cancel{9}^{1}\,}&=&-\frac{\,\cancel{45}^{5}\,}{\,\cancel{9}^{1}\,}\\[3pt]~~~a&=&-5\end{eqnarray}$

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よって、$\begin{split}y=-5x^2\end{split}$ となる

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また、$x=-2$ に代入すると、

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$\begin{split}~~~y=-5{\, \small \times \,}(-2)^2=-5{\, \small \times \,}4=-20\end{split}$

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したがって、
　$y$ を $x$ の式で表すと、$\begin{split}y=-5x^2\end{split}$

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　$x=-2$ のときの $y$ の値は、$\begin{split}y=-20\end{split}$ となる