関数y=ax²の変化の割合の解法
Point：関数y=ax²の変化の割合
例えば、\(\begin{split}y={\frac{\,1\,}{\,2\,}}x^2\end{split}\) の \(x=2\) から \(x=4\) までの変化の割合は、
① \(x\) の値から \(y\) の値を求める。
\(x=2\) のとき、\(\begin{split}y=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}2^2=2\end{split}\)
\(x=4\) のとき、\(\begin{split}y=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}4^2=8\end{split}\)
② \(x\) の増加量、\(y\) の増加量を求めて、変化の割合を求める。
\(x\)｜\(2\) → \(4\) より、\(x\) の増加量は、\(4-2=2\)
\(y\)｜\(2\) → \(8\) より、\(y\) の増加量は、\(8-2=6\)
変化の割合は、\(\begin{split}\frac{\,6\,}{\,2\,}=3\end{split}\)
関数の変化の割合は、
(変化の割合) ＝ ( \(y\) の増加量)( \(x\) の増加量)
※ 増加量は、(変化後)ー(変化前)で求める。
例えば、\(\begin{split}y={\frac{\,1\,}{\,2\,}}x^2\end{split}\) の \(x=2\) から \(x=4\) までの変化の割合は、
① \(x\) の値から \(y\) の値を求める。
\(x=2\) のとき、\(\begin{split}y=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}2^2=2\end{split}\)
\(x=4\) のとき、\(\begin{split}y=\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}4^2=8\end{split}\)
② \(x\) の増加量、\(y\) の増加量を求めて、変化の割合を求める。
\(x\)｜\(2\) → \(4\) より、\(x\) の増加量は、\(4-2=2\)
\(y\)｜\(2\) → \(8\) より、\(y\) の増加量は、\(8-2=6\)
変化の割合は、\(\begin{split}\frac{\,6\,}{\,2\,}=3\end{split}\)
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問題解説：関数y=ax²の変化の割合
問題解説(1)
問題
\({\small (1)}~\)関数 \(y=x^2\) について、\(x\) の値が次のように変化するときの変化の割合を求めよ。
① \(1\) から \(3\) まで増加
② \(-4\) から \(-1\) まで増加
次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)関数 \(y=x^2\) について、\(x\) の値が次のように変化するときの変化の割合を求めよ。
① \(1\) から \(3\) まで増加
② \(-4\) から \(-1\) まで増加
① それぞれの \(y\) の値は、
\(x=1\) のとき、\(\begin{split}y=1^2=1\end{split}\)
\(x=3\) のとき、\(\begin{split}y=3^2=9\end{split}\)
それぞれの変化は、
\(x\)｜\(1\) → \(3\)
\(y\)｜\(1\) → \(9\)
よって、\(x\) の増加量は \(1\) から \(3\) まで増加するので、
\(\begin{split}~~~3-1=2\end{split}\)
\(y\) の増加量は \(1\) から \(9\) まで増加するので、
\(\begin{split}~~~9-1=8\end{split}\)
これより、変化の割合は、
\(\begin{split}~~~\frac{\,8\,}{\,2\,}=4\end{split}\)
したがって、変化の割合 \(4\)
② それぞれの \(y\) の値は、
\(x=-4\) のとき、\(\begin{split}y=(-4)^2=16\end{split}\)
\(x=-1\) のとき、\(\begin{split}y=(-1)^2=1\end{split}\)
それぞれの変化は、
\(x\)｜\(-4\) → \(-1\)
\(y\)｜\(16\) → \(1\)
よって、\(x\) の増加量は \(-4\) から \(-1\) まで増加するので、
\(\begin{split}~~~-1-(-4)=-1+4=3\end{split}\)
\(y\) の増加量は \(16\) から \(1\) まで増加するので、
\(\begin{split}~~~1-16=-15\end{split}\)
これより、変化の割合は、
\(\begin{split}~~~\frac{\,-15\,}{\,3\,}=-5\end{split}\)
したがって、変化の割合 \(-5\)
問題解説(2)
問題
\({\small (2)}~\)関数 \(y=-2x^2\) について、\(x\) の値が次のように変化するときの変化の割合を求めよ。
① \(2\) から \(5\) まで増加
② \(-3\) から \(0\) まで増加
次の問いに答えよ。
\({\small (2)}~\)関数 \(y=-2x^2\) について、\(x\) の値が次のように変化するときの変化の割合を求めよ。
① \(2\) から \(5\) まで増加
② \(-3\) から \(0\) まで増加
① それぞれの \(y\) の値は、
\(x=2\) のとき、
\(\begin{split}~~~y=-2{\, \small \times \,} 2^2=-2{\, \small \times \,}4=-8\end{split}\)
\(x=5\) のとき、
\(\begin{split}~~~y=-2{\, \small \times \,} 5^2=-2{\, \small \times \,}25=-50\end{split}\)
それぞれの変化は、
\(x\)｜\(2\) → \(5\)
\(y\)｜\(-8\) → \(-50\)
よって、\(x\) の増加量は \(2\) から \(5\) まで増加するので、
\(\begin{split}~~~5-2=3\end{split}\)
\(y\) の増加量は \(-8\) から \(-50\) まで増加するので、
\(\begin{split}~~~-50-(-8)=-50+8=-42\end{split}\)
これより、変化の割合は、
\(\begin{split}~~~\frac{\,-42\,}{\,3\,}=-14\end{split}\)
したがって、変化の割合 \(-14\)
② それぞれの \(y\) の値は、
\(x=-3\) のとき、
\(\begin{split}~~~y=-2{\, \small \times \,}(-3)^2=-2{\, \small \times \,}9=-18\end{split}\)
\(x=0\) のとき、
\(\begin{split}~~~y=-2{\, \small \times \,}0^2=0\end{split}\)
それぞれの変化は、
\(x\)｜\(-3\) → \(0\)
\(y\)｜\(-18\) → \(0\)
よって、\(x\) の増加量は \(-3\) から \(0\) まで増加するので、
\(\begin{split}~~~0-(-3)=0+3=3\end{split}\)
\(y\) の増加量は \(-18\) から \(0\) まで増加するので、
\(\begin{split}~~~0-(-18)=0+18=18\end{split}\)
これより、変化の割合は、
\(\begin{split}~~~\frac{\,18\,}{\,3\,}=6\end{split}\)
したがって、変化の割合 \(6\)
【問題一覧】中３｜関数y=ax²
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