三角形と線分の比

Point：三角形と線分の比

$\triangle {\rm ABC}$ の辺 ${\rm AB~,~AC}$ 上の点を ${\rm D~,~E}$ とするとき、

${\small (1)}~$${\rm DE\,//\,BC}$ ならば、

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※ $\triangle {\rm ADE}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm ABC}$ より、対応する辺の比が等しい。
※ ${\rm AB~,~AC}$ の延長線上に点 ${\rm D~,~E}$ があっても成り立つ。

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${\small (2)}~$${\rm DE\,//\,BC}$ ならば、

※ このとき、${\rm DE:BC}$ は等しくないので注意！

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問題

次の図で ${\rm BC\,//\,DE}$ のとき、$x~,~y$ の値を求めよ。

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${\small (1)}~$

三角形と線分の比の定理より、
${\rm AD:AB=AE:AC}$ が成り立つので、

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$\begin{eqnarray}~~~6:9&=&4:x\\[2pt]~~~6{\, \small \times \,} x&=&9{\, \small \times \,}4\\[2pt]~~~6x&=&36\\[3pt]~~~\frac{\,6x\,}{\,6\,}&=&\frac{\,36\,}{\,6\,}\\[3pt]~~~x&=&6~~{\rm cm}\end{eqnarray}$

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また、${\rm AD:AB=DE:BC}$ が成り立つので、

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$\begin{eqnarray}~~~6:9&=&y:6\\[2pt]~~~9{\, \small \times \,} y&=&6{\, \small \times \,}6\\[2pt]~~~9y&=&36\\[3pt]~~~\frac{\,9y\,}{\,9\,}&=&\frac{\,36\,}{\,9\,}\\[3pt]~~~y&=&4~~{\rm cm}\end{eqnarray}$

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したがって、$x=6~~{\rm cm}~,~y=4~~{\rm cm}$ となる

問題

次の図で ${\rm BC\,//\,DE}$ のとき、$x~,~y$ の値を求めよ。

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${\small (2)}~$

${\rm BC\,//\,DE}$ より、錯角が等しいから、
　$\angle{\rm ACB}=\angle{\rm AED}$
対頂角が等しいから、
　$\angle{\rm BAC}=\angle{\rm DAE}$
２組の角がそれぞれ等しいから、
　$\triangle {\rm ABC}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm ADE}$

相似な図形では、対応する辺の比がそれぞれ等しいから、
　${\rm AC:AE=BC:DE}$
これより、

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$\begin{eqnarray}~~~12:4&=&x:5\\[2pt]~~~4{\, \small \times \,} x&=&12{\, \small \times \,}5\\[2pt]~~~4x&=&60\\[3pt]~~~\frac{\,4x\,}{\,4\,}&=&\frac{\,60\,}{\,4\,}\\[3pt]~~~x&=&15~~{\rm cm}\end{eqnarray}$

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また、${\rm AB:AD=AC:AE}$ が成り立つので、

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$\begin{eqnarray}~~~18:y&=&12:4\\[2pt]~~~y{\, \small \times \,} 12&=&18{\, \small \times \,}4\\[2pt]~~~12y&=&72\\[3pt]~~~\frac{\,12y\,}{\,12\,}&=&\frac{\,72\,}{\,12\,}\\[3pt]~~~y&=&6~~{\rm cm}\end{eqnarray}$

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したがって、$x=15~~{\rm cm}~,~y=6~~{\rm cm}$ となる
 
※ これより、点 ${\rm D~,~E}$ が辺 ${\rm AB~,~AC}$ の延長線上にある場合でも、三角形と線分の比の定理が成り立つことがわかる。

問題

次の図で ${\rm BC\,//\,DE}$ のとき、$x~,~y$ の値を求めよ。

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${\small (3)}~$

三角形と線分の比の定理より、
${\rm AD:DB=AE:EC}$ が成り立つので、

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$\begin{eqnarray}~~~3:9&=&5:x\\[2pt]~~~3{\, \small \times \,} x&=&9{\, \small \times \,}5\\[2pt]~~~3x&=&45\\[3pt]~~~\frac{\,3x\,}{\,3\,}&=&\frac{\,45\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~x&=&15~~{\rm cm}\end{eqnarray}$

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また、${\rm AD:AB=DE:BC}$ が成り立つので、

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$\begin{eqnarray}~~~3:3+9&=&4:y\\[2pt]~~~3:12&=&4:y\\[2pt]~~~3{\, \small \times \,} y&=&12{\, \small \times \,}4\\[2pt]~~~3y&=&48\\[3pt]~~~\frac{\,3y\,}{\,3\,}&=&\frac{\,48\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~y&=&16~~{\rm cm}\end{eqnarray}$

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したがって、$x=15~~{\rm cm}~,~y=16~~{\rm cm}$ となる