相似な立体の表面積比と体積比

相似な立体の表面積比と体積比の解法
問題解説：相似な立体の表面積比と体積比

相似な立体の表面積比と体積比の解法

Point：相似な立体の表面積比と体積比

相似な２つの立体の相似比が \(m:n\) であるとき、

表面積比は、相似比の２乗に等しくなるので、

表面積比　\(m^2:n^2\)

体積比は、相似比の３乗に等しくなるので、

体積比　\(m^3:n^3\)

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問題解説：相似な立体の表面積比と体積比

問題解説(1)

問題

次の問いに答えよ。

\({\small (1)}~\)半径 \(6~{\rm cm}\) の球Ａと半径 \(10~{\rm cm}\) の球Ｂについて、
①　相似比を求めよ。
②　表面積比を求めよ。
③　体積比を求めよ。

①　半径の比が相似比となるので、

\(~~~6:10=3:5\)

したがって、相似比は \(3:5\) となる

②　表面積比は、相似比 \(3:5\) の２乗に等しいので、

\(~~~3^2:5^2=9:25\)

したがって、表面積比は \(9:25\) となる

③　体積比は、相似比 \(3:5\) の３乗に等しいので、

\(~~~3^3:5^3=27:125\)

したがって、体積比は \(27:125\) となる

問題解説(2)

問題

次の問いに答えよ。

\({\small (2)}~\)相似な２つの立体Ｐ、Ｑについて、相似比が \(7:2\) であるとき、
①　Ｐの表面積が \(147~{\rm cm}^2\) であるとき、Ｑの表面積を求めよ。
②　Ｑの体積が \(40~{\rm cm}^3\) であるとき、Ｐの体積を求めよ。

①　表面積比は、相似比 \(7:2\) の２乗に等しいので、

\(~~~7^2:2^2=49:4\)

Ｐの表面積が \(147~{\rm cm}^2\) で、Ｑの表面積を \(S~{\rm cm}^2\) とすると、

\(\begin{eqnarray}~~~147:S&=&49:4\\[2pt]~~~S\times 49&=&147\times 4\\[3pt]~~~\frac{\,49S\,}{\,49\,}&=&\frac{\,147\times4\,}{\,49\,}\\[3pt]~~~S&=&3\times4\\[2pt]~~~S&=&12\end{eqnarray}\)

したがって、Ｑの表面積は \(12~{\rm cm}^2\) となる

②　体積比は、相似比 \(7:2\) の３乗に等しいので、

\(~~~7^3:2^3=343:8\)

Ｑの体積が \(40~{\rm cm}^2\) で、Ｐの体積を \(V~{\rm cm}^2\) とすると、

\(\begin{eqnarray}~~~V:40&=&343:8\\[2pt]~~~V\times 8&=&40\times 343\\[3pt]~~~\frac{\,8V\,}{\,8\,}&=&\frac{\,40\times343\,}{\,8\,}\\[3pt]~~~V&=&5\times343\\[2pt]~~~V&=&1715\end{eqnarray}\)

したがって、Ｐの体積は \(1715~{\rm cm}^3\) となる

問題解説(3)

問題

次の問いに答えよ。

\({\small (3)}~\)次の図の円すいを高さで２等分するように分けたとき、上の円すいをＡ、下の立体をＢとすると、

①　もとの円すいと円すいＡの体積比を求めよ。
②　円すいＡと立体Ｂの体積比を求めよ。
③　もとの円すいの体積が \(96\pi~{\rm cm}^3\) のとき、立体Ｂの体積を求めよ。

①　

相似比が \(2:1\) より、体積比は相似比の３乗に等しいので、

\(~~~2^3:1^3=8:1\)

したがって、体積比は \(8:1\) となる

②　

円すいＡの体積比を \(1\) としたときの、立体Ｂの体積比は、

\(~~~8-1=7\)

したがって、円すいＡと立体Ｂの体積比は \(1:7\) となる

③　もとの円すいの立体Ｂの体積比は、\(8:7\) である
立体Ｂの体積を \(x~{\rm cm}^3\) とすると、

\(\begin{eqnarray}~~~96\pi : x&=&8:7\\[2pt]~~~x\times 8&=&96\pi \times 7\\[3pt]~~~\frac{\,8x\,}{\,8\,}&=&\frac{\,96\pi \times 7\,}{\,8\,}\\[3pt]~~~x&=&12\pi \times7\\[2pt]~~~x&=&84\pi\end{eqnarray}\)

したがって、立体Ｂの体積は \(84\pi~{\rm cm}^3\) となる