弧の長さと円周角

弧の長さと円周角の解法

Point：弧の長さと円周角

■ 弧の長さと円周角

１つの円において、
【定理１】等しい円周角に対する弧の長さは等しい。

\(\angle{\rm APB}=\angle{\rm CQD}~\Rightarrow~\overset{\frown}{{\rm AB}}=\overset{\frown}{{\rm CD}}\)

【定理２】長さの等しい弧に対する円周角は等しい。

\(\overset{\frown}{{\rm AB}}=\overset{\frown}{{\rm CD}}~\Rightarrow~\angle{\rm APB}=\angle{\rm CQD}\)

問題解説：弧の長さと円周角

問題解説(1)

問題

次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)次の角の大きさを求めよ。
\(~~{\large ①}~\)\(\overset{\frown}{{\rm AB}}=\overset{\frown}{{\rm BC}}=\overset{\frown}{{\rm CD}}\)
\(~~{\large ②}~\)\(\overset{\frown}{{\rm BC}}=2\overset{\frown}{{\rm AB}}\)

\({\large ①}~\)

\(\overset{\frown}{{\rm AB}}=\overset{\frown}{{\rm CD}}\) より、長さの等しい弧に対する円周角は等しいので、\(\angle{\rm APB}=\angle{\rm BQD}\) となる
よって、
　\(x=30^\circ\)
また、\(\overset{\frown}{{\rm AB}}=\overset{\frown}{{\rm BC}}\) より、長さの等しい弧に対する円周角は等しい
円周角の定理より、\(\angle{\rm BOC}=2\angle{\rm APB}\) となる
よって、
　\(y=2\times 30^\circ=60^\circ\)
したがって、\(x=30^\circ~,~y=60^\circ\)

\({\large ②}~\)\(\angle{\rm BPC}\) の二等分線をひくと、

\(\overset{\frown}{{\rm AB}}=\overset{\frown}{{\rm BD}}=\overset{\frown}{{\rm DC}}\) より、長さの等しい弧に対する円周角は等しいので、
　\(\angle{\rm BPD}=\angle{\rm DPC}=25^\circ\)
また、\(x=\angle{\rm BPD}=\angle{\rm DPC}\) より、
　\(x=25^\circ+25^\circ=50^\circ\)
したがって、\(x=50^\circ\)

問題解説(2)

問題

次の問いに答えよ。
\({\small (2)}~\)次の図で、\(\overset{\frown}{{\rm AB}}=\overset{\frown}{{\rm CD}}\) ならば \({\rm AB=CD}\) であることを証明せよ。

[証明] \(\triangle {\rm OAB}\) と \(\triangle {\rm OCD}\) において、
\(\overset{\frown}{{\rm AB}}=\overset{\frown}{{\rm CD}}\) より、長さの等しい弧に対する円周角は等しいので、
　\(\angle{\rm APB}=\angle{\rm CQD}~~~\cdots{\large ①}\)
円周角の定理より、
　\(\angle{\rm AOB}=2\angle{\rm APB}\)
　\(\angle{\rm COD}=2\angle{\rm CQD}\)
①より、
　\(\angle{\rm AOB}=\angle{\rm COD}~~~\cdots{\large ②}\)
また、円の半径より、
　\({\rm OA=OB}~~~\cdots{\large ③}\)
　\({\rm OC=OD}~~~\cdots{\large ④}\)
②、③、④より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
　\(\triangle {\rm OAB}\equiv\triangle {\rm OCD}\)
合同な図形では対応する辺の長さが等しいので、
　\({\rm AB=CD}\)
[終]