日本文教出版：中学数学３

p.161 問1\({\small (1)}~\)二等辺三角形

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\({\small (2)}~\angle{\rm AOB}\)

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\({\small (3)}~\)[証明] 円の半径より、\({\rm OB=OP}\) となるので、\(\triangle {\rm OBP}\) は二等辺三角形である
底角が等しいので、
　\(\angle{\rm OBP}=\angle{\rm OPB}~~~\cdots{\large ①}\)
\(\triangle {\rm OBP}\) の外角は他の２つの内角の和に等しいので、
　\(\angle{\rm AOP}=\angle{\rm OBP}+\angle{\rm OPB}\)①より、
　\(\angle{\rm AOP}=2\angle{\rm OPB}\)
したがって、
　\(\angle{\rm APB}={\large \frac{\,1\,}{\,2\,}}\angle{\rm AOB}\)
[終]

p.162 問2\(\begin{split}{\small (1)}~55^\circ\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~60^\circ\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (3)}~50^\circ\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (4)}~120^\circ\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (5)}~220^\circ\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (6)}~40^\circ\end{split}\)

p.162 問3\(\begin{split}{\small (1)}~90^\circ\end{split}\)　　\(\begin{split}{\small (2)}~180^\circ\end{split}\)

p.163 問4三角定規で直角をとれば、直径が描ける
２本の直径を描くことで、その交点が円の中心となる

p.164 問1[証明] \(\triangle {\rm OAB}\) と \(\triangle {\rm OCD}\) において、
\(\overset{\frown}{\rm AB}=\overset{\frown}{\rm CD}\) より、等しい弧に対する中心角は等しいから、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm AOB}=\angle{\rm COD}~~~\cdots{\large ①}\end{split}\)
また、円の半径より、
\(\begin{split}~~~{\rm AO=CO}\cdots{\large ②}\end{split}\)
\(\begin{split}~~~{\rm BO=DO}\cdots{\large ③}\end{split}\)
①、②、③より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
\(\begin{split}~~~\triangle {\rm OAB}\equiv\triangle {\rm OCD}\end{split}\)
合同な図形の対応する辺は等しいから、
\(\begin{split}~~~{\rm AB=CD}\end{split}\)
[終]

p.165 問2例１の図において、
[証明] \(\begin{split}\angle{\rm APB}=\angle{\rm CQD}\end{split}\) とすると、
１つの円で、等しい円周角に対する中心角は等しいので、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm AOB}=\angle{\rm COD}\end{split}\)
１つの円で、等しい中心角に対する弧の長さは等しいので、
\(\begin{split}~~~\overset{\frown}{\rm AB}=\overset{\frown}{\rm CD}\end{split}\)
[終]

p.165 問3\(\begin{split}~~~\angle{\rm BFC}=20^\circ~,~\angle{\rm AFC}=40^\circ\end{split}\)
\(\begin{split}~~~\angle{\rm AED}=60^\circ\end{split}\)

p.167 問1\({\small (1)}~\)ある　　\({\small (2)}~\)ない　　\({\small (3)}~\)ある

p.167 問2[証明] 平行四辺形の対角が等しいので、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm ABC}=\angle{\rm ADC}\end{split}\)
ここで、\(\begin{split}\angle{\rm ABC}=\angle{\rm AB’C}\end{split}\) より、
\(\begin{split}~~~\angle{\rm AB’C}=\angle{\rm ADC}\end{split}\)
円周角の定理の逆より、４点 \({\rm A~,~B’~,~C~,~D}\) は同一円周上にある [終]

p.169 問1円 \({\rm M}\) の円周角の定理より、\({\rm AO}\) が直径であるので、
　\(\angle{\rm APO}=\angle{\rm AP’O}=90^\circ\)
これより、直線 \({\rm AP~,~AP’}\) は \({\rm OP~,~OP’}\) と垂直に交わるので、円 \({\rm O}\) の接線となる

p.169 問2

p.169 問3[証明] \(\triangle {\rm APO}\) と \(\triangle {\rm AP’O}\) において、
円の半径で等しいから
　\({\rm OP=OP’}~~~\cdots{\large ①}\)
円の接線は接点を通る半径に垂直であるから、
　\(\angle{\rm OPA}=\angle{\rm OP’A}=90^\circ~~~\cdots{\large ②}\)
共通の辺より、
　\({\rm AO=AO}~~~\cdots{\large ③}\)
①、②、③より、直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいから、
　\(\triangle {\rm APO}\equiv\triangle {\rm AP’O}\)
合同な図形の対応する辺は等しいから
　\({\rm AP=AP’}\)
[終]

p.170 問1\(\begin{split}~~~{\rm DP}=\frac{\,9\,}{\,5\,}=1.8~{\rm cm}\end{split}\)

p.171 問2[証明] \(\triangle {\rm PAD}\) と \(\triangle {\rm PCB}\) において、
\(\overset{\frown}{{\rm BD}}\) の円周角より、
　\(\angle{\rm PAD}=\angle{\rm PCB}~~~\cdots{\large ①}\)
共通の角より、
　\(\angle{\rm APD}=\angle{\rm CPB}~~~\cdots{\large ②}\)
①、②より、２組の角がそれぞれ等しいので、
　\(\triangle {\rm PAD}\,\,\unicode{x223D}\,\,\triangle {\rm PCB}\)
相似な図形の対応する辺の比が等しいので、
　\({\rm AD~:~CB=AP~:~CP}\)
[終]

p.171 問3[証明] \(\overset{\frown}{{\rm AC}}\) に対する円周角 \(\angle{\rm ADC}\) と、\(\overset{\frown}{{\rm BD}}\) に対する円周角 \(\angle{\rm DCB}\) において、
\(\triangle {\rm DCQ}\) における外角の定理より、
　\(\angle{\rm ADC}=\angle{\rm DQC}+\angle{\rm DCQ}\)
よって、
　\(\angle{\rm AQC}=\angle{\rm ADC}-\angle{\rm DCB}\)
[終]

p.172 基本の問題 1\(\begin{split}{\small (1)}~x=80^\circ~,~y=20^\circ\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (2)}~x=100^\circ~,~y=45^\circ\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (3)}~x=40^\circ~,~y=80^\circ\end{split}\)
\(\begin{split}{\small (4)}~x=30^\circ~,~y=60^\circ\end{split}\)

p.172 基本の問題 2\({\small (1)}~\)ある　　\({\small (2)}~\)ない

p.172 基本の問題 3[証明] 円周角の定理より、
　\(\angle{\rm AOB}=50^\circ\)
錯角が等しいので、
　\({\rm AO\,//\,BC}\)
[終]