１次方程式の解き方

Point：１次方程式の解き方

■ 等式と移項
等式では一方の辺にある項を符号をかえて他方の辺に移すことができる。これを「移項」という。

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■ 移項を使った方程式の解き方

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\(\begin{split}~~~3x-1=x+5\end{split}\)

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① \(x\) をふくむ項を左辺に、数の項を右辺に移項する。(※ 移項すると符号がかわる)
　\(-1\) を右辺に移項して、\(+1\) に、
　\(x\) を左辺に移項して、\(-x\) にすると、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{9pt}~~~3x-1&=&x+5\\[2pt]~~~3x-x&=&5+1\end{eqnarray}\)

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② 両辺をそれぞれ計算する。

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\(\begin{eqnarray}~~~(3-1)x&=&5+1\\[2pt]~~~2x&=&6\end{eqnarray}\)

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③ 両辺を \(x\) の係数でわり、\(x=\)◯の形として解を求める。
　両辺を \(x\) の係数 \(2\) でわると、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{17pt}~~~\frac{\,2x\,}{\,2\,}&=&\frac{\,6\,}{\,2\,}\\[3pt]~~~x&=&3\end{eqnarray}\)

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問題

次の方程式を解け。

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\(\begin{split}{\small (1)}~~x-5=3\end{split}\)

\(-5\) を移項すると、符号がかわるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~x-5&=&3\\[2pt]~~~x&=&3+5\\[2pt]~~~x&=&8\end{eqnarray}\)

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したがって、解は \(x=8\) となる

問題

次の方程式を解け。

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\(\begin{split}{\small (2)}~~7x=6x-1\end{split}\)

\(6x\) を移項すると、符号がかわるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~7x&=&6x-1\\[2pt]~~~7x-6x&=&-1\\[2pt]~~~(7-6)x&=&-1\\[2pt]~~~x&=&-1\end{eqnarray}\)

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したがって、解は \(x=-1\) となる

問題

次の方程式を解け。

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\(\begin{split}{\small (3)}~~2=3x-4\end{split}\)

両辺を入れかえると、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{14pt}~~~2&=&3x-4\\[2pt]~~~3x-4&=&2\end{eqnarray}\)

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\(-4\) を移項すると、符号がかわるので、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{17pt}~~~3x&=&2+4\\[2pt]~~~3x&=&6\end{eqnarray}\)

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両辺を \(x\) の係数 \(3\) でわると、

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\(\require{cancel} \begin{eqnarray}~~~\frac{\,3x\,}{\,3\,}&=&\frac{\,6\,}{\,3\,}\\[3pt]~~~\frac{\,\cancel{3}^{1} x\,}{\,\cancel{3}^{1}\,}&=&\frac{\,\cancel{6}^{2}\,}{\,\cancel{3}^{1}\,}\\[3pt]~~~x&=&2\end{eqnarray}\)

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したがって、解は \(x=2\) となる

問題

次の方程式を解け。

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\(\begin{split}{\small (4)}~~3x-1=5x+7\end{split}\)

\(-1\) と \(5x\) をそれぞれ移項すると、符号がかわるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~3x-1&=&5x+7\\[2pt]~~~3x-5x&=&7+1\\[2pt]~~~(3-5)x&=&8\\[2pt]~~~-2x&=&8\end{eqnarray}\)

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両辺を \(x\) の係数 \(-2\) でわると、

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\(\require{cancel} \begin{eqnarray}\hspace{10pt}~~~\frac{\,-2x\,}{\,-2\,}&=&\frac{\,8\,}{\,-2\,}\\[3pt]~~~\frac{\,\cancel{-2}^{1} x\,}{\,\cancel{-2}^{1}\,}&=&-\frac{\,\cancel{8}^{4}\,}{\,\cancel{2}^{1}\,}\\[3pt]~~~x&=&-4\end{eqnarray}\)

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したがって、解は \(x=-4\) となる

問題

次の方程式を解け。

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\(\begin{split}{\small (5)}~~17+4x=10x-7\end{split}\)

\(17\) と \(10x\) をそれぞれ移項すると、符号がかわるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~17+4x&=&10x-7\\[2pt]~~~4x-10x&=&-7-17\\[2pt]~~~(4-10)x&=&-24\\[2pt]~~~-6x&=&-24\end{eqnarray}\)

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両辺を \(x\) の係数 \(-6\) でわると、

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\(\require{cancel} \begin{eqnarray}\hspace{15pt}~~~\frac{\,-6x\,}{\,-6\,}&=&\frac{\,-24\,}{\,-6\,}\\[3pt]~~~\frac{\,\cancel{-6}^{1} x\,}{\,\cancel{-6}^{1}\,}&=&\frac{\,\cancel{-24}^{4}\,}{\,\cancel{-6}^{1}\,}\\[3pt]~~~x&=&4\end{eqnarray}\)

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したがって、解は \(x=4\) となる

問題

次の方程式を解け。

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\(\begin{split}{\small (6)}~~x+8=4x+10\end{split}\)

\(8\) と \(4x\) をそれぞれ移項すると、符号がかわるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~x+8&=&4x+10\\[2pt]~~~x-4x&=&10-8\\[2pt]~~~(1-4)x&=&2\\[2pt]~~~-3x&=&2\end{eqnarray}\)

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両辺を \(x\) の係数 \(-3\) でわると、

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\(\require{cancel} \begin{eqnarray}\hspace{4pt}~~~\frac{\,-3x\,}{\,-3\,}&=&\frac{\,2\,}{\,-3\,}\\[3pt]~~~\frac{\,\cancel{-3}^{1} x\,}{\,\cancel{-3}^{1}\,}&=&\frac{\,2\,}{\,-3\,}\\[3pt]~~~x&=&-\frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

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したがって、解は \(\begin{split}x=-{\frac{\,2\,}{\,3\,}}\end{split}\) となる